Programación Lineal: Modelos PLE


Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Programación Lineal: Modelos PLE"

Transcripción

1 Programación Lineal: Modelos PLE CCIR / Matemáticas CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 1 / 35

2 Introduccion Introduccion En esta lectura se verán cómo se puede modelar situaciones mediante un modelo de programación lineal entera o entera mixta (PLE). También veremos algunos ejemplos que ilustran cómo modelar situaciones que nos son lineales, tanto en las restricciones como en la función objetivo, que mediante la introducción de variables binarias se pueden convertir a un modelo lineal. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 2 / 35

3 0-1 Knapsack problem 0-1 Knapsack problem Suponga que hay n proyectos y que el costo del proyecto i es c i y que por otro lado el valor del proyecto es a i. Cada proyecto se realiza o no, de manera que no es posible realizar una fracción de él. El presupuesto disponible es limitado y tiene el valor b. El problema de la mochila consiste en elegir un subconjunto de proyectos que maximice el valor obtenido y que no exceda el presupuesto dado: Max n a i x i i=1 sujeto a n c i x i b i=1 La variable binaria x i sirve para determinar cuando el proyecto i es seleccionado: 0 si no lo es, 1 si sí lo es. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 3 / 35

4 Ejemplo 1 Ejemplo 1 StockCo considera cuatro inversiones. La inversión 1 proporcionará un valor actual neto (VAN) de 16,000 dólares; la inversión 2 un VAN de 20,000 dólares; la inversión 3 un VAN de 12,000 dólares; y la inversión 4 un VAN de 8,000 dólares. Cada inversión requiere cierto flujo de caja en el momento actual; la inversión 1 requiere 5,000 dólares; la inversión 2 requiere 7,000 dólares; la inversión 3 requiere 4,000 dólares; y la inversión 4 requiere 3,000 dólares. Se dispone de 14,000 dólares para la inversión. Formule y resuelva un modelo PLE para maximizar el VAN obtenido por StockCo. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 4 / 35

5 Ejemplo 1 Ejemplo 1 StockCo considera cuatro inversiones. La inversión 1 proporcionará un valor actual neto (VAN) de 16,000 dólares; la inversión 2 un VAN de 20,000 dólares; la inversión 3 un VAN de 12,000 dólares; y la inversión 4 un VAN de 8,000 dólares. Cada inversión requiere cierto flujo de caja en el momento actual; la inversión 1 requiere 5,000 dólares; la inversión 2 requiere 7,000 dólares; la inversión 3 requiere 4,000 dólares; y la inversión 4 requiere 3,000 dólares. Se dispone de 14,000 dólares para la inversión. Formule y resuelva un modelo PLE para maximizar el VAN obtenido por StockCo. Variables de Decisión: { 1 si se realiza la inversión i x i = 0 otro caso Objetivo: Maximizar el VAN: Max z = 16, 000 x , 000 x , 000 x 3 + 8, 000 x 4 Restricciones: 5, 000 x 1 + 7, 000 x 2 + 4, 000 x 3 + 3, 000 x 4 14, 000 x i = 1 ó 0, para i = 1, 2, 3, 4. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 4 / 35

6 Ejemplo 1 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 5 / 35

7 Ejemplo 1 Modifique el modelo para StockCo para considerar por separado cada una de las siguientes restricciones: 1 StockCo puede realizar los más dos inversiones. 2 Si StockCo invierte en la inversión 2, entonces debe también invertir en la 1. 3 Si StockCo invierte en la inversión 2, entonces no podrá invertir en la 4. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 6 / 35

8 Ejemplo 1 Modifique el modelo para StockCo para considerar por separado cada una de las siguientes restricciones: 1 StockCo puede realizar los más dos inversiones. 2 Si StockCo invierte en la inversión 2, entonces debe también invertir en la 1. 3 Si StockCo invierte en la inversión 2, entonces no podrá invertir en la 4. Respuestas 1 Basta añadir al modelo la restricción: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 2 Esto hace que entre todos los proyectos hay a lo más dos sí s 2 Basta añadir al modelo la restricción: x 2 x 1 Esto hace que un sí para el proyecto 2 implique un sí para el proyecto 1. 3 Basta añadir al modelo la restricción: x 2 + x 4 1 Esto hace que entre los proyectos 2 y 4 hay a lo más un sí. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 6 / 35

9 Ejemplo 2 Ejemplo 2 Gandhi Cloth Co puede fabricar 3 tipos de ropa: camisas, shorts y pantalones. Para poder fabricar la ropa, la compañía debe disponer de la maquinaria adecuada la cual debe rentar. Para fabricar camisas la maquinaria se renta en 200 dólares por semana; la maquinaria para hacer shorts se renta en 150 dólares por semana; y la maquinaria para hacer pantalones cuesta 100 dólares por semana. La siguiente tabla contiene información sobre los requerimientos para fabricar la ropa en tela y en horas de trabajo, así mismo contiene información sobre los precios de venta y los costos de la matera primas. TRABAJO TELA PRECIO VENTA COSTO Horas m2 dólares dólares Camisa Short Pantalón Disponibles Suponiendo que los costos de renta son independientes de las cantidades de ropa a producir, formule y resuelva un modelo PLE para la compañía Gandhi de manera que maximice sus ganancias semanales. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 7 / 35

10 Ejemplo 2 Variables de Decisión: x 1 = número de camisas a fabricar x 2 = número de shorts a fabticar x 3 = número de pantalones a fabricar Relativas a la renta de maquinaria: { 1 si se fabrican camisas y 1 = 0 otro caso { 1 si se fabrican shorts y 2 = 0 otro caso { 1 si se fabrican pantalones y 3 = 0 otro caso Objetivo Maximizar: z = + (12 x x x 3 ) (6 x x x 3 ) (200 y y y 3 ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 8 / 35

11 Ejemplo 2 Restricciones No exceder el número de horas disponibles de trabajo 3 x x x No exceder la cantidad semanda de tela disponible: 4 x x x Si se decide hacer al menos una camisa, debe rentarse la maquinaria de hacer camisas: x 1 M 1 y 1 Si se decide hacer al menos un short, debe rentarse la maquinaria de hacer shorts: x 2 M 2 y 2 Si se decide hacer al menos una pantalón, debe rentarse la maquinaria de hacer pantalones: x 3 M 3 y 3 x 1, x 2, x 3 enteros no negativos, y 1, y 2, y 3 1 ó 0. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 9 / 35

12 Ejemplo 2 Para las restricciones anteriores, M 1, M 2 y M 3 son números grandes de forma tal que un 0 en y i condiciona a que x i = 0 y un 1 en y i no pone restricciones a x i. Estos valores de M i son calculables por las restricciones. Por ejemplo, si sólo se hicieran camisas (x 2 = 0 y x 3 = 0) por las horas de trabajo se debe cumplir que 3 x 1 150, así x Por tanto, se puede elegir M 1 = 50 o un número mayor. De igual manera, si sólo se hacen shorts (x 1 = 0 y x 3 = 0) de la restricción de horas de trabajo se tiene que cumplir 2 x 2 150, y sí x Por tanto, se puede elegir M 2 = 75 o cualquier número mayor. Si ahora decidimos elegir sólo hacer pantalones (x 1 = 0 y x 2 = 0) por el número de horas disponibles se debe cumplir 6 x 3 150, y así x Por tanto, se puede elegir M 3 = 25 o cualquier número mayor. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 10 / 35

13 Ejemplo 2 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 11 / 35

14 Ejemplo 3 Ejemplo 3 Hay seis ciudades (ciudades 1-6) en el Condado Kilroy. El condado debe determinar en qué ciudad construir estaciones de bomberos. El condado quiere construir una cantidad mínima de estaciones, pero quiere asegurarse que para cada ciudad hay al menos una estación que está a 15 minutos de viaje. Los datos de los tiempos de viaje, en minutos, de una ciudad a otra están en la siguiente tabla. Formule y resuelva un modelo PLE que dirá en qué ciudades construir una estacíón de bomberos. HACIA DE Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Ciudad 5 Ciudad 6 Ciudad Ciudad Ciudad Ciudad Ciudad Ciudad CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 12 / 35

15 Ejemplo 3 Variables de decisión: { 1 si estación de bomberos en la ciudad i x i = 0 si no Objetivo: Minimizar el total de estaciones de bomberos: Minimizar 6 i=1 x i Restricciones Cubrir a la ciudad 1: Como sólo ella misma y la ciudad 2 están a 15 minutos o menos, entonces la ciudad 1 se cubriría teniendo estaciones de bomberos en la ciudad 1 y/o en la ciudad 2: x 1 + x 2 1 Cubrir a la ciudad 2: x 1 + x 2 + x 6 1 Cubrir a la ciudad 3: x 3 + x 4 1 Cubrir a la ciudad 4: x 3 + x 4 + x 5 1 Cubrir a la ciudad 5: x 4 + x 5 + x 6 1 Cubrir a la ciudad 6: x 2 + x 5 + x 6 1 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 13 / 35

16 Ejemplo 3 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 14 / 35

17 Ejemplo 4 Ejemplo 4 FC-Co considera construir plantas en tres localidades desde donde se proveerán productos a otras 4 ciudades distintas. La primera de las posibles plantas tendría una capacidad de 39 productos y un costo de 91 unidades de capital; la segunda tendría una capacidad de 35 productos y un costo de 70 unidades de capital; la tercera tendría una capacidad de 31 productos a un costo de construcción de 24 unidades de capital. La ciudad 1 tiene una demanda de 15 productos, la segunda de 17, la tercera de 22 y la cuarta ciudad de 12 productos. Determine cuáles de las plantas debe construir de manera que se minimice el costo de construcción y el costo por envio total. Suponga que debe proporcionar a las ciudades los productos requeridos y que no debe exceder las capacidades de las plantas. Los costos de envio unitarios en unidades de capital desde cada planta a cada ciiudad están dados en la siguiente tabla. C1 C2 C3 C4 P P P CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 15 / 35

18 Ejemplo 4 Variables de decisión Objetivo y i : variable binaria que indica si la planta i se construye x i,j : Variable entera que determina cuántos productos se envian desde la plata i a la ciudad j. Restricciones Min z = 3 cp i y i + i=1 3 i=1 j=1 4 c i,j x i,j Cumplir demandas: Para toda ciudad j = 1, 2, 3, 4, 3 i=1 x i,j d j No exceder capacidades: Para toda planta i = 1, 2, 3, 4 j=1 x i,j s i y i Naturales: Para toda i = 1, 2, 3, y i es binaria. Naturales: Para toda i = 1, 2, 3 y para toda j = 1, 2, 3, 4, x i,j es entera. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 16 / 35

19 Ejemplo 4 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 17 / 35

20 Restricciones del tipo O BIEN Restricciones del tipo O BIEN Para codificar una restricción del tipo o bien f (x 1, x 2,..., x n ) 0 g(x 1, x 2,..., x n ) 0 el truco consiste en introducir una variable binaria (0 ó 1) y que indica cuál restricción se cumple, y lo anterior se codifica como f (x 1, x 2,..., x n ) M y g(x 1, x 2,..., x n ) M (1 y) donde M es un número positivo muy grande. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 18 / 35

21 Ejemplo 5 Ejemplo 5 Dorian Auto considera la fabricación de 3 tipos de autos: Compacto, mediano, y grande. En la siguiente tabla se muestran los recursos requeridos y las ganancias por cada tipo de auto. En la actualidad se cuenta con 600 toneladas de acero y 60,000 horas de trabajo. Para que la producción de un tipo de auto sea factible, hay que fabricar al menos 100 automóviles. Formule un modelo PLE para maximizar la ganancia de Dorian Auto. COMPACTO MEDIANO GRANDE Acero requerido 1.5 ton 3 ton 5 ton Trabajo requerido 30 horas 25 horas 40 horas Gancia obtenida 2,000 dólares 3,000 dólares 4,000 dólares CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 19 / 35

22 Variables de Decisión Objetivo Ejemplo 5 x i = Num de autos i a producir (i = 1 Compacto, i = 2 mediano, i = 3 grande) Restricciones Truco: Recursos: Max z = 3 g i x i i=1 Acero: 1.5 x x x Trabajo: 30 x x x 2 60, 000 Producción: 400 x i ó x i = 0 Restricciones naturales x i x i ó x i = 0 f = 400 x i 0 ó g = x i 0 (400 x i ) M y i y x i M (1 y i ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 20 / 35

23 Ejemplo 5 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 21 / 35

24 Funciones Linealmente Seccionadas Funciones Linealmente Seccionadas Suponga una función linealmente seccionada en la variable var, f (var); cuyos puntos de ruptura son var = b 1, var = b 2,... var = b n. Para algún k (k = 1, 2,..., n 1) se tiene que var = z k b k + (1 z k ) b k+1 y así f (var) = z k f (b k ) + (1 z k ) f (b k+1 ) f (b k+1 ) f (var) f (b k ) b k var b k+1 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 22 / 35

25 Funciones Linealmente Seccionadas Estrategia de modelación con variables enteras: Reemplace: f (var) = z 1 f (b 1 ) + z 2 f (b 2 ) + + z n f (b n ) Adicione al modelo las restricciones: z 1 y 1 z 2 y 1 + y 2 z 3 y 2 + y 3. z n 1 y n 2 + y n 1 z n y n 1 y 1 + y y n 1 = 1 z 1 + z z n = 1 var = z 1 b z n b n y i = 0 ó 1 para i = 1, 2,... n 1, z i 0 para i = 1, 2,..., n CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 23 / 35

26 Ejemplo 6 Ejemplo 6 La compañía MyCo produce dos tipos de productos que vende a granel, digamos A y B. Estos productos se basan en una misma materia prima y diferentes cantidades de mano de obra. El precio de venta de cada kilogramo de A es de 200 pesos y cada kilogramo de B se vende en 250 pesos. Cada kilogramo de A requiere 4 horas de mano de obra y dos kilogramos de materia prima (1 kilogramo de materia prima se pierde en el proceso). Cada kilogramo de B requiere 6 horas de mano de obra y dos kilogramos y medio de materia prima (Un y medio kilogramos se pierden en el proceso). La compañía dispone de 400 horas de mano de obra a la semana y la materia prima la compra por semana a un proveedor a un precio de 50 pesos cada kilogramo, pero por cada kilogramo después de comprar 100 recibe un descuento de 5 pesos. El proveedor no puede proporcionar más de 200 kilogramos por semana. Suponga que la materia prima no puede ser almancenada por la compañía. Modele y resuelva mediante PLE la situación de MyCo para maximizar sus ganancias semanales. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 24 / 35

27 MODELO VD Objetivo Ejemplo 6 x= total de kg de A a producir y= total de kg de B a producir z= total de kg de materia prima a comprar Max w = Costo(plan) = ventas costos = (200 x y) C(z) f (b 3 ) = 9500 C(z) f (b 2 ) = 5000 f (b 1 ) = 0 b 1 = 0 b 2 = 100 b 3 = 200 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 25 / 35

28 Ejemplo 6 Las restricciones quedan: Referente a la materia prima: Usada = 2 x y Disponible = z (en kg) Referente a las horas de mano de obra: Usada = 4 x + 6 y Disponible = 400 (en hrs) La capacidad del proveedor de surtir materia prima z 200 (en kg) Naturales x, y, z 0 Ahora tenemos el pendiente de la función C(z) que no es lineal. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 26 / 35

29 Ejemplo 6 En este caso, la función linealmente seccionada C(z) tiene 3 puntos de ruptura: (b 1 = 0, C(0) = 0), (b 2 = 100, C(100) = 5000) y (b 3 = 200, C(200) = 9500). Por tanto, requerimos sólo 3 1 = 2 variables binarias y i (y 1 y y 2 ) y 3 variables auxiliares z i (z 1, z 2 y z 3 ). Cambiaremos C(z) = z 1 f (b 1 ) + z 2 f (b 2 ) + z 3 f (b 3 ) = z z z = 5000 z z 3 y añadiremos al modelo las restricciones: z 1 y 1, z 2 y 1 + y 2, z 3 y 2, y 1 + y 2 = 1, z 1 + z 2 + z 3 = 1, z = z 1 b 1 + z 2 b 2 + z 3 b 3 = 100 z z 3 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 27 / 35

30 Ejemplo 6 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 28 / 35

31 Ejemplo 7 Ejemplo 7 Euing Gas produce dos tipos de gasolina (G1 y G2) a partir de dos tipos de petróleo (P1 y P2). Cada galón de G1 debe contener al menos 50 % de P1, y cada galón de G2 debe contener al menos 60 % de P1. Cada galón de G1 se vende 12 centavos de G2 a 14 centavos. Actualmente se disponen 500 galones de P1 y 1,000 galones de P2. Se pueden comprar 1,500 galones extra de P1 a los siguientes precios: los primeros 500 a 25 centavos el galón, los siguientes 500 a 20 centavos el galón, y los últimos 500 a 15 centavos el galón. Modele y resuelva mediante PLE la situación de Euing Gas para maximizar sus ganancias. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 29 / 35

32 Variables de Decisión Ejemplo 7 x ij = Num de galones del petróleo i destinados a gasolina j. X i = Num de galones del petróleo i usados en total. Objetivo Max z = 0.12 (x 11 + x 21 ) (x 12 + x 22 ) Costo(X 1 ) Restricciones Producción: X 1 = x 11 + x 12 Producción: X 2 = x 21 + x 22 Recursos petróleo 2: X 2 1, 000 Recursos petróleo 1: X 1 2, 000 Calidad: x (x 11 + x 21 ) Calidad: x (x 12 + x 22 ) Restricciones naturales x i 0 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 30 / 35

33 Ejemplo 7 Problema: Costo(X 1 ) es una función seccionada Costo(x) = 0 para 0 x 500 (Los primeros 500 ya se tienen) Costo(x) = (x 500) para 500 x 1, 000 Costo(x) = (x 1, 000) para 1, 000 x 1, 500 Costo(x) = (x 1, 500) para 1, 500 x 2, 000 Los extremos de la gráfica de la función costo son: P 1 (b 1 = 0, f (b 1 ) = 0), P 2 (b 2 = 500, f (b 2 ) = 0), P 3 (b 3 = 1000, f (b 3 ) = 125), P 4 (b 4 = 1500, f (b 4 ) = 225), y P 5 (b 5 = 2000, f (b 5 ) = 300): Reemplazaremos: Costo(X 1 ) por z z z z z Adicionaremos al modelo: z 1 y 1, z 2 y 1 + y 2, z 3 y 2 + y 3, z 4 y 3 + y 4, z 5 y 4 y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = 1 z 1 + z 1 + z 3 + z 4 + z 5 = 1 X 1 = z z z 3 1, z 4 1, z 5 2, 000 y i binaria para i = 1, 2, 3, 4y z i 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 31 / 35

34 Ejemplo 7 Código LINDO y reporte Euing MAX 0.12X X X X22-CX1 ST X1 -X11 - X12=0 X2 -X21 + X22=0 X2 <= 1000 X1 <= X X21 - X11 <=0 0.6X X22 - X12 <= 0 125Z Z Z5 - CX1=0 Z1 - Y1 <= 0 Z2 - Y2 - Y1 <=0 Z3 - Y3 - Y2 <=0 Z4 - Y4 - Y3 <=0 Z5 - Y4 <= 0 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Z Z Z5 - X1 <=0 END INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y Y Y X X X X CX X X Z Z Z Z Z ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 32 / 35

35 Restricciones del tipo SI, ENTONCES Restricciones del tipo SI, ENTONCES Para codificar una restricción del tipo Si f (x 1, x 2,..., x n ) > 0 entonces g(x 1, x 2,..., x n ) 0 el truco consiste en introducir una variable binaria (0 ó 1) y que indica cuál restricción se cumple, y lo anterior se codifica como g(x 1, x 2,..., x n ) M y f (x 1, x 2,..., x n ) M (1 y) donde M es un número positivo muy grande. CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 33 / 35

36 Ejemplo 8 Ejemplo 8 Hay que realizar cuatro trabajos en una misma máquina. En la tabla siguiente se indica el tiempo requerido por trabajo y la fecha ĺımite para entregarlo. El retraso de un trabajo es el número de días, después de la fecha ĺımite, hasta la la terminación del trabajo. Si se termina el trabajo a tiempo o antes el retraso es cero. Formule y resuelva un modelo PLE para minimizar el retraso total de los cuatro trabajos. TIEMPO REQUERIDO PARA TERMINAR (días)(t i ) FECHA LÍMITE (d i ) Trabajo 1 6 Final del día 8 Trabajo 2 4 Final del día 4 Trabajo 3 5 Final del día 12 Trabajo 4 8 Final del día 16 CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 34 / 35

37 Ejemplo 8 Variables de decisión y i = días de retraso en el trabajo i. x i = el día en el cual el trabajo i se inicia. Función Objetivo Minimizar Z = 4 i=1 y i Restricciones Dos trabajos no se pueden empalmar: Para todo i j: x i + t i x j ó x j + t j x i x i + t i x j 0 ó x j + t j x i 0 x i + t i x j M z ij y x j + t j x i M (1 z ij ) con z ij binario. Contabilización del retraso: Si x i + t i > d i, entonces y i = x i + t i d i : De otra manera Si x i + t i d i > 0, entonces y i x i t i + d i 0. con w i binario. x i + t i d i y i M w i y x i + t i d i M(1 w i ) CCIR / Matemáticas Programación Lineal: Modelos PLE 35 / 35

Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial :Solución Profr. Eduardo Uresti, Verano 2009

Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial :Solución Profr. Eduardo Uresti, Verano 2009 Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial : Profr. Eduardo Uresti, Verano 2009 Matrícula: Nombre: 1. Suponga que se tiene disponible la siguiente información salida de LINDO a un problema

Más detalles

Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial Respuesta: :Solución Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011

Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial Respuesta: :Solución Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011 Matrícula: Nombre: Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial Respuesta: : Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011 1. Suponga que tiene una empresa que produce tres tipos de productos (P

Más detalles

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1 Programación Lineal Entera

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1 Programación Lineal Entera Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1 11 de septiembre de 2003 1. Introducción Un LP donde se requiere que todas las variables sean enteras se denomina un problema

Más detalles

TP1 Programación Lineal - 2009

TP1 Programación Lineal - 2009 Problema Trabajo Práctico Nº 1 de cerdo. Una carnicería 1 La carne prepara vaca hamburguesas contiene 80% con de carne una combinación y 20% de grasa de carne y le molida cuesta de $5 vaca el kilo, y carne

Más detalles

-.PROGRAMACION LINEAL.- Problemas resueltos

-.PROGRAMACION LINEAL.- Problemas resueltos -.PROGRAMACION LINEAL.- Problemas resueltos EJEMPLO 1. Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondigón con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo.

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. Página 102. Página 103

PROGRAMACIÓN LINEAL. Página 102. Página 103 4 PROGRAMACIÓN LINEAL Página 0 Problema Para representar y x, representa la recta y x =. Después, para decidir a cuál de los dos semiplanos corresponde la inecuación, toma un punto cualquiera exterior

Más detalles

CANTABRIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / BLOQUE 1 / OPCIÓN A

CANTABRIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / BLOQUE 1 / OPCIÓN A CANTABRIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / BLOQUE 1 / OPCIÓN A BLOQUE 1 OPCIÓN A Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo

Más detalles

Guía de Ejercicios. Matemática 11

Guía de Ejercicios. Matemática 11 Guía de Ejercicios Matemática 11 Matemática 11 Resolver: 1) 5 + 3x 31 3x 5) 3(2x 1) > 4+5(x 1) 6) x + 4 3 > 2x 3 +1 4 1 7) 4 (2x 1) x

Más detalles

Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial Respuesta: :Solución Profr. Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2011

Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial Respuesta: :Solución Profr. Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2011 Matrícula: Nombre: Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial Respuesta: : Profr. Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2011 1. Suponga que tiene una empresa que produce tres tipos de productos

Más detalles

Caso Giapetto Inc. Entonces la Función Objetivo es igual a: [27*X 1 + 21*X 2 ] [10*X 1 + 9X 2 ] [14*X 1 + 10*X 2 ] = 3*X 1 + 2*X 2

Caso Giapetto Inc. Entonces la Función Objetivo es igual a: [27*X 1 + 21*X 2 ] [10*X 1 + 9X 2 ] [14*X 1 + 10*X 2 ] = 3*X 1 + 2*X 2 Caso Giapetto Inc. Objetivo del caso: Explicar los componentes de la programación lineal a través de la modelación de un ejemplo. La compañía Giapetto fabrica 2 tipos de juguetes de madera: soldados y

Más detalles

Tema 8: El Problema de Programación Lineal Entera. Modelización y Resolución

Tema 8: El Problema de Programación Lineal Entera. Modelización y Resolución Tema 8: El Problema de Programación Lineal Entera. Modelización y Resolución Los problemas de programación lineal entera pple son problemas de programación lineal en los que se exige que alguna o todas

Más detalles

1º Dibuja las regiones factibles definidas por los siguientes sistemas:

1º Dibuja las regiones factibles definidas por los siguientes sistemas: Departamento de Matemáticas 2º de bachillerato Matemáticas II aplicadas a las Ciencias Sociales Tema 3: Programación lineal. 1º Dibuja las regiones factibles definidas por los siguientes sistemas: 0,3

Más detalles

Programación Lineal Entera

Programación Lineal Entera Programación Lineal Entera P.M. Mateo y David Lahoz 2 de julio de 2009 En este tema se presenta un tipo de problemas formalmente similares a los problemas de programación lineal, ya que en su descripción

Más detalles

Contenido Orientativo Matemáticas 11 EE-EA-EC, Libre Escolaridad FACES-ULA

Contenido Orientativo Matemáticas 11 EE-EA-EC, Libre Escolaridad FACES-ULA Contenido Orientativo Matemáticas 11 EE-EA-EC, Libre Escolaridad FACES-ULA El siguiente documento tiene como objetivo proporcionar a los alumnos del curso de matemáticas 11, por la modalidad de libre escolaridad,

Más detalles

Programación lineal. 1º) En la región del plano determinada por, hallar las

Programación lineal. 1º) En la región del plano determinada por, hallar las Programación lineal 1º) En la región del plano determinada por, hallar las coordenadas de los puntos en los que la función alcanza su valor mínimo y máximo. Máximo en el punto y mínimo en el punto. 2º)

Más detalles

Programación Entera. P.E pura: Todas las variables de decisión tienen valores enteros.

Programación Entera. P.E pura: Todas las variables de decisión tienen valores enteros. Clase # 7 Programación Entera. Programación entera es programación lineal con la restricción adicional de que los valores de las variables de decisión sean enteros. P.E pura: Todas las variables de decisión

Más detalles

MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMIA II G.E.C.O. Curso 2012/2013

MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMIA II G.E.C.O. Curso 2012/2013 MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMIA II G.E.C.O. Curso 2012/2013 Relación de Ejercicios N o 3 1. Resolver los siguientes programas lineales primero gráficamente y después por el método del simplex. (a) Z = x +

Más detalles

Ejercicios resueltos de Programación Lineal

Ejercicios resueltos de Programación Lineal Investigación Operativa I 009 Ejercicios resueltos de Programación Lineal Mauricio estrella Erika Beatriz Palacin Palacios Pajuelo Daniel PREGUNTA Ingeniería de Sistemas y Computación UNDAC 3..6 la empresa

Más detalles

x + y 4 2x + 3y 10 4x + 2y 12 x 0, y 0

x + y 4 2x + 3y 10 4x + 2y 12 x 0, y 0 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL JUNIO 2000. OPCIÓN B. Una empresa especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de mesas y

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. Solución: Sea: x = cantidad invertida en acciones A y = cantidad invertida en acciones B. La función objetivo es: x y + 100 100

PROGRAMACIÓN LINEAL. Solución: Sea: x = cantidad invertida en acciones A y = cantidad invertida en acciones B. La función objetivo es: x y + 100 100 PROGRAMACIÓN LINEAL 1. A una persona le tocan 10 millones de pesos en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio

Más detalles

Contenido Orientativo Matemáticas 21 EE-EA-EC, Libre Escolaridad FACES-ULA

Contenido Orientativo Matemáticas 21 EE-EA-EC, Libre Escolaridad FACES-ULA Contenido Orientativo Matemáticas 1 EE-EA-EC, Libre Escolaridad FACES-ULA El siguiente documento tiene como objetivo proporcionar a los alumnos del curso de matemáticas 1, por la modalidad de libre escolaridad,

Más detalles

Matemáticas financieras y criterios de evaluación

Matemáticas financieras y criterios de evaluación Matemáticas financieras y criterios de evaluación 01/06/03 1 Momentos y períodos Conceptos generales Momento Momento Momento Momento Momento Momento 0 1 2 3 4 5 Período 1 Período 2 Período 3 Período 4

Más detalles

Unidad 2 Método gráfico de solución

Unidad 2 Método gráfico de solución Unidad 2 Método gráfico de solución Los problemas de programación lineal (pl) que sólo tengan dos variables de decisión pueden resolverse gráficamente, ya que, como se ha visto en los Antecedentes, una

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL-SELECTIVIDAD (MADRID)

PROGRAMACIÓN LINEAL-SELECTIVIDAD (MADRID) PROGRAMACIÓN LINEAL-SELECTIVIDAD (MADRID) 1.- (Junio 99). Los alumnos de un instituto pretenden vender dos tipos de lotes, A y B, para sufragar los gastos del viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta

Más detalles

Un programa entero de dos variables. 15.053 Jueves, 4 de abril. La región factible. Por qué programación entera? Variables 0-1

Un programa entero de dos variables. 15.053 Jueves, 4 de abril. La región factible. Por qué programación entera? Variables 0-1 15.053 Jueves, 4 de abril Un programa entero de dos variables Introducción a la programación entera Modelos de programación entera Handouts: material de clase maximizar 3x + 4y sujeto a 5x + 8y 24 x, y

Más detalles

Optimización y Programación Lineal

Optimización y Programación Lineal Optimización y Programación Lineal La regla del 100 % 17 de febrero de 2011 La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 1 / 21 Introducción Introducción Veamos ahora

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. y x Ì 2. Representa, de forma análoga, las siguientes inecuaciones: a) x +5y > 10 b) x + 2y Ì 16 c) 2x + y Ì 20.

PROGRAMACIÓN LINEAL. y x Ì 2. Representa, de forma análoga, las siguientes inecuaciones: a) x +5y > 10 b) x + 2y Ì 16 c) 2x + y Ì 20. PROGRAMACIÓN LINEAL Página 99 REFLEXIONA Y RESUELVE Resolución de inecuaciones lineales Para representar y x Ì 2, representa la recta y x = 2. Después, para decidir a cuál de los dos semiplanos corresponde

Más detalles

Fundamentos de Investigación de Operaciones Asignación y Vendedor Viajero

Fundamentos de Investigación de Operaciones Asignación y Vendedor Viajero Fundamentos de Investigación de Operaciones y Vendedor Viajero 23 de mayo de 2004 Si bien la resolución del problema de transporte mediante tableau parece ser muy expedita, existen ciertos tipos de problemas

Más detalles

Inversión. Inversión. Arbitraje. Descuento. Tema 5

Inversión. Inversión. Arbitraje. Descuento. Tema 5 Inversión Tema 5 Inversión Los bienes de inversión obligan a gastar hoy para obtener ganancias en el futuro Vamos a estudiar cómo se valoran los pagos futuros Por ejemplo, la promesa de recibir euro dentro

Más detalles

TALLER: Renta Variable 1. C. Si la empresa A se fusiona con la empresa B, la cual es del mismo tamaño, y si no existen sinergias económicas,

TALLER: Renta Variable 1. C. Si la empresa A se fusiona con la empresa B, la cual es del mismo tamaño, y si no existen sinergias económicas, I. TALLER: Renta Variable 1 A. Su corredor le dice que la desviación estándar de los rendimientos de una cartera depende sólo de las desviaciones estándar de los activos individuales y de la cantidad de

Más detalles

Programación Lineal. Programación Lineal

Programación Lineal. Programación Lineal Programación Lineal Modelo General Max Z = c 1 + C 2 +... c n, s.a. a 11 + a 12 +... + a 1n b 1 a 21 + a 22 +... + a 2n b 2.. a m1 + a m2 +... + a mn b m 0, 0, x 3 0,..., 0 Programación Lineal Interpretación

Más detalles

[email protected] Matemáticas

euresti@itesm.mx Matemáticas al Método al Método Matemáticas al Método En esta lectura daremos una introducción al método desarrollado por George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914-13 de mayo de 2005) en 1947. Este método se

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL 1.- Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre. La empresa A le paga 0,05 por impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes,

Más detalles

Unidad 1 Modelos de programación lineal

Unidad 1 Modelos de programación lineal Unidad 1 Modelos de programación lineal La programación lineal comenzó a utilizarse prácticamente en 1950 para resolver problemas en los que había que optimizar el uso de recursos escasos. Fueron de los

Más detalles

Fundamentos de Investigación de Operaciones El Problema de Transporte

Fundamentos de Investigación de Operaciones El Problema de Transporte Fundamentos de Investigación de Operaciones El Problema de Transporte Septiembre 2002 El Problema de Transporte corresponde a un tipo particular de un problema de programación lineal. Si bien este tipo

Más detalles

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL A.- Problemas generales B.- Problemas con porcentajes C.- Problemas de dietas D.- Problemas para profundizar A.- PROBLEMAS GENERALES Ejercicio 1.- En una fábrica se construyen

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. a) Dibuja dicha región y determina sus vértices. b) Calcula el mínimo de la función objetivo z = 4x + 5y, en el recinto anterior.

PROGRAMACIÓN LINEAL. a) Dibuja dicha región y determina sus vértices. b) Calcula el mínimo de la función objetivo z = 4x + 5y, en el recinto anterior. PROGRAMACIÓN LINEAL 1. La región factible de un problema de programación lineal es la intersección de primer cuadrante con los tres semiplanos definidos por las siguientes inecuaciones: x y x y x y + 1

Más detalles

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES. FACULTAD DE INGENIERIA. ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL.

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES. FACULTAD DE INGENIERIA. ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL. UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES. FACULTAD DE INGENIERIA. ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL. Optimización, Pauta Solemne 2. Semestre Primavera 2011 Profesores: Paul Bosch, Fernando Paredes, Pablo Rey Tiempo:

Más detalles

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1 Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1 Formulación de Modelos de Programacón Lineal 25 de julio de 2003 La (LP es una herramienta para resolver problemas de optimización

Más detalles

Desarrollar un modelo Lingo. Para desarrollar un modelo de optimización en Lingo hay que especificar:

Desarrollar un modelo Lingo. Para desarrollar un modelo de optimización en Lingo hay que especificar: Desarrollar un modelo Lingo Para desarrollar un modelo de optimización en Lingo hay que especificar: Función Objetivo Max(Min) = COST O1 V ARIABLE1 + COST O2 V ARIABLE2; Variables: Los nombres de las variables

Más detalles

Investigación Operativa 2002 Software Para Programación Lineal LINGO/LINDO

Investigación Operativa 2002 Software Para Programación Lineal LINGO/LINDO Presentaremos dos tipos de programas para resolver modelos de programación lineal. LINGO Generalidades LINGO: (LINear Generalize Optimizer) es una herramienta simple para formular problemas lineales y

Más detalles

MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA

MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA UNIVERSIDAD DE VALLADOLID DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA SUBSECCIÓN DE MATEMÁTICAS MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA Economía Derecho Administración y Dirección de Empresas RELACIÓN DE PROBLEMAS DE

Más detalles

Práctica de informática del programa LINDO

Práctica de informática del programa LINDO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Práctica de informática del programa LINDO Curso 2004-05 LINDO 6.1 es un programa de entorno Windows, que sirve para resolver problemas

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Repaso de todo. Con solución

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Repaso de todo. Con solución Repaso de todo Con solución Gauss, matrices, programación lineal, límites, continuidad, asíntotas, cálculo de derivadas. Problema 1: En una confiteria se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados,

Más detalles

Solemne I Profesor: Marcelo Leseigneur P. Ayudante: Renzo Lüttges C.

Solemne I Profesor: Marcelo Leseigneur P. Ayudante: Renzo Lüttges C. Solemne I Profesor: Marcelo Leseigneur P. Ayudante: Renzo Lüttges C. Pregunta 1 Hallar el dominio y recorrido de las siguientes funciones, dibújelas, y estudie su paridad, imparidad, crecimiento y decrecimiento,

Más detalles

SOLUCION DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL EN UNA HOJA DE CALCULO. PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y ASIGNACION.

SOLUCION DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL EN UNA HOJA DE CALCULO. PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y ASIGNACION. UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE LA PRODUCCIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL SOLUCION DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL EN UNA HOJA DE CALCULO. PROBLEMAS DE

Más detalles

GUIA DE EJERCICIOS. d) 12x - 9y + 2 = 0 e) 2x+ y - 6 = 0

GUIA DE EJERCICIOS. d) 12x - 9y + 2 = 0 e) 2x+ y - 6 = 0 ECUACIÓN DE LA RECTA Y PENDIENTE GUIA DE EJERCICIOS ) Encontrar la pendiente de la recta determinada por cada uno de los guientes pares de números: a) (, ) y (5, ) b) (, -3) y (-, ) c) (, 6) y (8, 56)

Más detalles

Práctica N 6 Modelos de Programación Lineal Entera

Práctica N 6 Modelos de Programación Lineal Entera Práctica N 6 Modelos de Programación Lineal Entera 6.1 Una empresa textil fabrica 3 tipos de ropa: camisas, pantalones y shorts. Las máquinas necesarias para la confección deben ser alquiladas a los siguientes

Más detalles

TRABAJO PRÁCTICO. Destinos 1 2 3 Oferta (u.) A 10 8 4 45 B 9 5 7 50 C 3 6 9 45 D 5 7 6 30 Demanda (u.) 90 30 50

TRABAJO PRÁCTICO. Destinos 1 2 3 Oferta (u.) A 10 8 4 45 B 9 5 7 50 C 3 6 9 45 D 5 7 6 30 Demanda (u.) 90 30 50 1 TRABAJO PRÁCTICO TEMA:TEORÍA DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN PERSONAL 1) Una empresa tiene tres fábricas en distintos lugares del país que abastecen a 5 puestos minoristas. Los costos de envío de 1 Tn. de

Más detalles

Capítulo 5 Método Simplex

Capítulo 5 Método Simplex Capítulo 5 Método Simplex Cj 5-2 3 0 -M 0 0 V.B. b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 5 X1 13/9 1 0 0-4/15 4/15 7/45 4/45 NO 3 X3 14/9 0 0 1 1/15-1/15 2/45 14/45 70/3-2 X2 1/3 0 1 0-3/15 3/15-2/15 1/15 NO Zj - Cj 101/9

Más detalles

Optimización, Solemne 2. Semestre Otoño 2012 Profesores: Paul Bosch, Rodrigo López, Fernando Paredes, Pablo Rey Tiempo: 110 min.

Optimización, Solemne 2. Semestre Otoño 2012 Profesores: Paul Bosch, Rodrigo López, Fernando Paredes, Pablo Rey Tiempo: 110 min. UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES. FACULTAD DE INGENIERIA. ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL. Optimización, Solemne. Semestre Otoño Profesores: Paul Bosch, Rodrigo López, Fernando Paredes, Pablo Rey Tiempo: min.

Más detalles

FUNCIONES LINEALES I NO LINEALES. APLICACIONES Depreciación en línea recta.

FUNCIONES LINEALES I NO LINEALES. APLICACIONES Depreciación en línea recta. FUNCIONES LINEALES I NO LINEALES. APLICACIONES Depreciación en línea recta. Muchas veces las organizaciones adquieren equipos, vehículos, casas, etc., entonces los contadores por lo general asignan el

Más detalles

MANEJO DEL WINQSB PARA EL CURSO DE TEORIA DE DECISIONES

MANEJO DEL WINQSB PARA EL CURSO DE TEORIA DE DECISIONES MANUAL CORTO WINQSB PARA PL El Winqsb es un software informática muy utilizado para construir modelos matemáticos que permita tomar decisiones específicamente en el área de administración y economía entre

Más detalles

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES NEGOCIOS APLICATIVO - WINQBS

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES NEGOCIOS APLICATIVO - WINQBS UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES Facultad de Ciencias i Administrativas i ti y Contables METODOS CUANTITATIVOS DE NEGOCIOS APLICATIVO - WINQBS La U-Save Loan Company está planeando sus operaciones para el

Más detalles

Programación lineal. En esta Unidad didáctica nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes:

Programación lineal. En esta Unidad didáctica nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes: UNIDAD 3 Programación lineal a programación lineal es parte L de una rama de las matemáticas relativamente joven llamada investigación operativa. La idea básica de la programación lineal es la de optimizar,

Más detalles

Programación lineal. Observación: La mayoría de estos problemas se han propuesto en exámenes de selectividad

Programación lineal. Observación: La mayoría de estos problemas se han propuesto en exámenes de selectividad 1 Observación: La mayoría de estos problemas se han propuesto en exámenes de selectividad 1. Dibuja la región del plano definida por las siguientes inecuaciones: x 0, 0 y 2, y + 2x 4 Representando las

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

L A P R O G R A M A C I O N

L A P R O G R A M A C I O N L A P R O G R A M A C I O N L I N E A L 1. INTRODUCCIÓN: la programación lineal como método de optimación La complejidad de nuestra sociedad en cuanto a organización general y económica exige disponer

Más detalles

RESOLUCION DE EJERCICIOS DEL CAPITULO 2. Variables de decisión:

RESOLUCION DE EJERCICIOS DEL CAPITULO 2. Variables de decisión: RESOLUCION DE EJERCICIOS DEL CAPITULO 2 EJERCICIO 2.1: Identifique un conjunto de variables de decisión apropiadas para este ejercicio. Proporcione nombres simbólicos relevantes y una descripción completa

Más detalles

Problemas de inecuaciones Programación lineal - 1. MasMates.com Colecciones de ejercicios

Problemas de inecuaciones Programación lineal - 1. MasMates.com Colecciones de ejercicios 1. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños; el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada a una sesión de un adulto

Más detalles

www.aulamatematica.com

www.aulamatematica.com www.aulamatematica.com APLIICACIIÓN DE DERIIVADAS:: PROBLEMAS DE OPTIIMIIZACIIÓN CON 1 VARIIABLE.. 004 Los costes de fabricación C(x) en euros de cierta variedad de galletas dependen de la cantidad elaborada

Más detalles

UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE

UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE UDO - ESTELI Por la Excelencia Académica Carrera: Ingeniería en Computación y Sistemas Nombre de la asignatura: Métodos de Optimización I Año académico: Quinto año Cuatrimestre:

Más detalles

APUNTES SOBRE EL MÉTODO SÍMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Adriel R. Collazo Pedraja

APUNTES SOBRE EL MÉTODO SÍMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Adriel R. Collazo Pedraja APUNTES SOBRE EL MÉTODO SÍMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL Adriel R. Collazo Pedraja 2 INTRODUCCIÓN Este trabajo tiene como propósito proveer ayuda al estudiante para que pueda comprender y manejar más efectivamente

Más detalles

Programación Lineal Continua/ Investigación Operativa. EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 1

Programación Lineal Continua/ Investigación Operativa. EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 1 EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 1 1. Una empresa que fabrica vehículos quiere determinar un plan de producción semanal. Esta empresa dispone de 5 fábricas que producen distintos elementos del

Más detalles

EJERCICIO 1. Sean las variables de decisión: x= n: de impresos diarios tipo A repartidos. y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.

EJERCICIO 1. Sean las variables de decisión: x= n: de impresos diarios tipo A repartidos. y= n: de impresos diarios tipo B repartidos. EJERCICIO 1 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 Bs.. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 Bs.

Más detalles

MATEMÁTICAS II PRÁCTICAS CON LINGO

MATEMÁTICAS II PRÁCTICAS CON LINGO MATEMÁTICAS II PRÁCTICAS CON LINGO Carlos Ivorra CURSO ACADÉMICO 2012-13 1 INTRODUCCIÓN A LA MODELIZACIÓN 1 1 Introducción a la modelización El objetivo de estas prácticas es aprender a resolver problemas

Más detalles

Problemas de Investigación Operativa y Programación Matemática

Problemas de Investigación Operativa y Programación Matemática Problemas de Investigación Operativa y Programación Matemática Omar J. Casas López Septiembre 2002 Tema I : Introducción 1. Una factoría fabrica dos tipos de productos, A y B. Para su elaboración se requieren

Más detalles

EJERCICIOS. Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio

EJERCICIOS. Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio EJERCICIOS EJERCICIO 1 En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran

Más detalles

a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7

a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 1 = x + x 6 = c) x 9x + = d) x 6x 7 = = a) x = 1 y x = 1 x = 3 y x = c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a)

Más detalles

El Problema del Transporte

El Problema del Transporte ASIGNATURA PROGRAMACIÓN LINEAL El Problema del Transporte Maestro Ing. Julio Rito Vargas Avilés Octubre 2014 1 Problema de Transporte Es un caso especial de problema de programación lineal (PPL), para

Más detalles

1. Análisis de la situación 3 1.1. Objetivo... 3 1.2. Hipótesis... 3

1. Análisis de la situación 3 1.1. Objetivo... 3 1.2. Hipótesis... 3 Índice 1. Análisis de la situación 3 1.1. Objetivo................................ 3 1.2. Hipótesis............................... 3 2. Modelo 3 2.1. Definición de variables........................ 3 2.2.

Más detalles

-100 0.10 0 0.20 50 0.30 100 0.25 150 0.10 200

-100 0.10 0 0.20 50 0.30 100 0.25 150 0.10 200 ESTADISTICA Y PROBABILIDAD Orientadores:. Arch. Taller3_est.doc 1. El siguiente es un ejemplo de experimentos y variables aleatorias asociadas. Identifique en cada caso los valores que la variables aleatoria

Más detalles

5.4 Una flecha será ensamblada en un cojinete como se muestra a continuación.

5.4 Una flecha será ensamblada en un cojinete como se muestra a continuación. PROBLEMAS 5.1. El famoso juego 7-11, requiere que el jugador lance dos dados una v. más veces hasta tomar la decisión de que se gana o se pierde el juego. El juego se gana si en el primer lanzamiento los

Más detalles

EJERCICIO EXTRAS FCA 6 E TURNO NOCTURNO SENSEY

EJERCICIO EXTRAS FCA 6 E TURNO NOCTURNO SENSEY PROGRAMACIÓN LINEAL? LA PROGRAMACIÓN LINEAL SE APLICA A MODELOS DE OPTIMIZACIÓN EN LOS QUE LAS FUNCIONES OBJETIVO Y RESTRICCIONES SON ESTRICTAMENTE LINEALES. -VARIABLES Y PARÁMETROS. SON INCÓGNITAS QUE

Más detalles

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1 Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones de agosto de 200. Estandarización Cuando se plantea un modelo de LP pueden existir igualdades y desigualdades. De la misma forma

Más detalles

Capítulo 7 Análisis de inversiones

Capítulo 7 Análisis de inversiones Capítulo 7 Análisis de inversiones Introducción La aceptación o el rechazo de un proyecto de inversión representa, quizá, la decisión más importante que pudieran tomar los administradores financieros porque

Más detalles

4.3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD

4.3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD 4.3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD El problema de programación lineal se puede considerar como modelo de asignación de recursos, en el que el objetivo es maximizar los ingresos o las utilidades,

Más detalles

5 Programación lineal entera y mixta

5 Programación lineal entera y mixta Programación lineal entera y mixta 101 5 Programación lineal entera y mixta 5.1 Introducción En algunas situaciones que pueden representarse con modelos lineales, nos encontramos con que sólo tienen sentido

Más detalles

Aprendiendo LINGO INTRODUCCIÓN A LINGO - 1

Aprendiendo LINGO INTRODUCCIÓN A LINGO - 1 Aprendiendo LINGO INTRODUCCIÓN A LINGO - 1 Introducción a LINGO LINGO (LINear Generalize Optimizer) es una versátil herramienta para la formulación, resolución y análisis de problemas de programación lineal

Más detalles

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1 Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1 1 de agosto de 2003 1. Introducción Cualquier modelo de una situación es una simplificación de la situación real. Por lo tanto,

Más detalles

INTERPRETACION ECONOMICA DEL ANALISIS DE SENSIBILIDAD

INTERPRETACION ECONOMICA DEL ANALISIS DE SENSIBILIDAD ESCOLA UNIVERSITÀRIA D ESTUDIS EMPRESARIALS DEPARTAMENT D ECONOMIA I ORGANITZACIÓ D EMPRESES INTERPRETACION ECONOMICA DEL ANALISIS DE SENSIBILIDAD Dunia Durán Juvé Profesora Titular 1ª Edición de 1995:

Más detalles

El fabricante desea planificar el proceso de producción y para ello establece las siguientes metas ordenadas por orden de importancia:

El fabricante desea planificar el proceso de producción y para ello establece las siguientes metas ordenadas por orden de importancia: Titulación: Ingeniero en Organización Industrial Asignatura: Investigación Operativa Curso: 2010/2011 RECOPILACIÓN EXÁMENES PRÁCTICAS Programación Multiobjetivo 1. [JUNIO 2010] (4.5 puntos) En el proceso

Más detalles

Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II PL

Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II PL Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II PL 1) Una imprenta local edita periódicos y revistas. Para cada periódico necesita un cartucho de tinta negra y otro de color, y para cada revista uno de

Más detalles

Unidad 7 Aplicación de máximos y mínimos

Unidad 7 Aplicación de máximos y mínimos Unidad 7 Aplicación de máimos y mínimos Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Interpretará el concepto de ingreso y costos marginal. Aplicará la función de ingresos en problemas de maimización. Aplicará

Más detalles

APLICACIONES CON SOLVER OPCIONES DE SOLVER

APLICACIONES CON SOLVER OPCIONES DE SOLVER APLICACIONES CON SOLVER Una de las herramientas con que cuenta el Excel es el solver, que sirve para crear modelos al poderse, diseñar, construir y resolver problemas de optimización. Es una poderosa herramienta

Más detalles

MA4011: Modelación y Optimización EjemplosProfr. Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010

MA4011: Modelación y Optimización EjemplosProfr. Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010 MA4011: Modelación y Optimización EjemplosProfr. Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010 1. Un fabricante produce semanalmente un solo artículo para dos clientes. Este artículo es un insumo para ambos clientes

Más detalles

Programación Lineal Entera

Programación Lineal Entera Programación Lineal Entera Los modelos de programación entera son una extensión de los modelos lineales en los que algunas variables toman valores enteros. Con frecuencia las variables enteras sólo toman

Más detalles

CÁLCULO DE CICLOS DE CONSUMO Y ROTACIÓN DE INVENTARIOS

CÁLCULO DE CICLOS DE CONSUMO Y ROTACIÓN DE INVENTARIOS 4 CÁLCULO DE CICLOS DE CONSUMO Y ROTACIÓN DE INVENTARIOS Al finalizar el capítulo, el alumno calculará los ciclos de consumo y rotación de inventarios de acuerdo con los métodos de valuación, para la determinación

Más detalles

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos

Más detalles

Introducción al programa WinQSB

Introducción al programa WinQSB Introducción al programa WinQSB WinQSB es un sistema interactivo de ayuda a la toma de decisiones que contiene herramientas muy útiles para resolver distintos tipos de problemas en el campo de la investigación

Más detalles

Ejercicios y problemas

Ejercicios y problemas Ejercicios problemas Problemas 28. Un granjero desea crear una granja de pollos de dos razas,a B. Dispone de 9 000 para invertir de un espacio con una capacidad limitada para 7 000 pollos. Cada pollo de

Más detalles

11.1. Diferentes situaciones sobre regiones factibles y óptimos. 1. Maximizar la función F(x,y) = 40x + 50y sujeta a las restricciones:

11.1. Diferentes situaciones sobre regiones factibles y óptimos. 1. Maximizar la función F(x,y) = 40x + 50y sujeta a las restricciones: 11.1. Diferentes situaciones sobre regiones factibles y óptimos. 1. Maximizar la función F(x,y) = 40x + 50y sujeta a las restricciones: 0 0 (1) 2x + 5y 50 (3) 3x + 5y 55 (5) x (2) 5x + 2y 60 (4) x + y

Más detalles

TAREA N o 1 Investigación de Operaciones

TAREA N o 1 Investigación de Operaciones TAREA N o 1 Investigación de Operaciones Profesores Víctor Leiva - Carolina Marchant Ingeniería en Estadística, Universidad de Valparaíso Valparaíso, 13 de diciembre de 2011 Ejercicio 1: Un expendio de

Más detalles

Análisis de los datos

Análisis de los datos Universidad Complutense de Madrid CURSOS DE FORMACIÓN EN INFORMÁTICA Análisis de los datos Hojas de cálculo Tema 6 Análisis de los datos Una de las capacidades más interesantes de Excel es la actualización

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL Junio 94. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1,5 millones de pesetas y el modelo B en 2 millones. La oferta

Más detalles

EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO: MINIMIZACION. M. En C. Eduardo Bustos Farías

EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO: MINIMIZACION. M. En C. Eduardo Bustos Farías EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO: MINIMIZACION M. En C. Eduardo Bustos Farías 1 Minimización El método simplex puede aplicarse a un problema de minimización si se modifican los pasos del algoritmo: 1. Se cambia

Más detalles

PROBLEMARIO TEMA III y IV

PROBLEMARIO TEMA III y IV Universidad Santa María Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Cátedra de Gerencia Financiera I (9no Semestre) PROBLEMARIO TEMA III y IV Versión 020121 TEMA 3 A.- Qué es el Ciclo de Caja? Como se relaciona

Más detalles

Programación Lineal. Ejercicio nº 1.- a) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación: 2x y 3

Programación Lineal. Ejercicio nº 1.- a) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación: 2x y 3 Programación Lineal Ejercicio nº.- a) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación: b) Averigua cuál es la inecuación cuas soluciones corresponden al siguiente semiplano: Ejercicio nº.- a) Representa

Más detalles

02 Ejercicios de Selectividad Programación Lineal

02 Ejercicios de Selectividad Programación Lineal Ejercicios propuestos en 009 1.- [009-1-B-1] En un examen se propone el siguiente problema: F x, y = 6x+ 3y en la región Indique dónde se alcanza el mínimo de la función determinada por las restricciones

Más detalles

EJEMPLOS PRÁCTICOS DE VALORACIÓN DE INVERSIONES

EJEMPLOS PRÁCTICOS DE VALORACIÓN DE INVERSIONES EJEMPLOS PRÁCTICOS DE VALORACIÓN DE INVERSIONES Una inversión es una operación financiera definida por una serie de desembolsos que se estima que van a generar una corriente futura de ingresos. Existen

Más detalles
Sitemap