EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA


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1 EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean linealmente independientes. (b) [1'25 puntos] Determina los valores de a para que los vectores u + v y u - w son ortogonales. Ejercicio 2. Sean C 1, C 2 y C 3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula indicando las propi9edades que utilices: (a) [0'S puntos] El determinante de A 3. (b) [0'5 puntos] El determinante de A -1. (c) [0'S puntos] El determinante de 2A. (d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente 3C 1 - C 3, 2C 3 y C 2. Ejercicio 3. [2'5 puntos] Dadas las matrices A = y B =, halla la matriz X que cumple que A.X = (B.A t ) t. Ejercicio 4. Dada la matriz A =, se pide: (a) [1 punto] Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. (b) [1'5 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2. (2) Ejercicio 5. [2'5 puntos] Determina razonadamente los valores de m para los que el sistema de ecuaciones tiene más de una solución. 2x + y + z = mx x + 2y + z = my x + 2y + 4z = mz Ejercicio 6. (a) [1 punto] Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale -2 Cuánto vale el determinante de la matriz 4A? (b) [1'5 puntos] Dada la matriz B = inversa?, para qué valores de λ la matriz 3B + B 2 no tiene

2 (1) Ejercicio 7. Considera las matrices A =, B = y C =. (a) [1'25 puntos] Para que valores de m tiene solución la ecuación matricial A.X + 2B = 3C? (b) [1'25 puntos] Resuelve la ecuación matricial dada para m = 1. Ejercicio 8. Considera las matrices A = y X =. (a) [1'25 puntos] Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ para los que la matriz A + λi no tiene inversa. (b) [1'25 puntos] Resuelve el sistema A.X = 3X e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones (6) Ejercicio 9. Considera el sistema de ecuaciones mx - y = 1 x - my = 2m -1 (a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores de m. (b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = 3. Ejercicio 10. Considera las matrices A =, B =, C = (a) [1'25 puntos] Calcula A.B, A.C, A t.b t y C t.a t, siendo A t, B t y C t las matrices transpuestas de A, B y C, respectivamente. (b) [1'25 puntos] Razona cuáles de las matrices A, B, C y AB tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa. (5) Ejercicio 11. [2 5 puntos] Considera el sistema de ecuaciones x + 3y + z = 0 2x 13y + 2z = 0 (a + 2)x 12y + 12z = 0 Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial y resuélvelo para dicho valor de a.

3 Ejercicio 12. Se sabe que determinantes:. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes (a) [0 75 puntos] (b) [0 75 puntos] (c) [1 punto] Ejercicio 13. Considera el sistema de ecuaciones x + λy = λ λx + y + (λ - 1)z = 1 λx + y = 2 + λ (a) [1 5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Ejercicio 14. Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado tendero observa que si vende a 1 las botellas del tipo A, a 3 las del tipo B y a 4 las del tipo C, entonces obtiene un total de 20. Pero si vende a 1 las del tipo A, a 3 las del B y a 6 las del C, entonces obtiene un total de 25. (a) [0 75 puntos] Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo que posee el tendero. (b) [1 punto] Resuelve dicho sistema. (c) [0 75 puntos] Puede determinarse el número de botellas de cada tipo de que dispone el tendero? (Ten en cuenta que el número de botellas debe ser entero y positivo). (1) Ejercicio 15. Se sabe que el sistema de ecuaciones x + αy = 1 x + αz = 1 y + z = α tiene una única solución. (a) [1 25 puntos] Prueba que α 0. (b) [1 25 puntos] Halla la solución del sistema.

4 Ejercicio 16. Sabiendo que determinantes: = - 6, calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes (a) [0 75 puntos]. (b) [0 75 puntos]. (c) [1 punto] (6) Ejercicio 17. [2 5 puntos] En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo. Ejercicio 18. Sabiendo que siguientes determinantes:, calcula, indicando las propiedades que utilices, los (a) [1 punto] - 3A y A -1 (b) [0'75 puntos] (c) [0'75 puntos] (5) Ejercicio 19. [2 5 puntos] Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros. Ejercicio 20. Considera el sistema de ecuaciones x + my + z = 0 x + y + mz = 2 mx + y + z = m (a) [1 punto] Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones?

5 (b) [1 5 puntos] Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x = 1? (4) Ejercicio 21. Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea A =. (a) [1 punto] Halla los valores de x para los que la matriz A xi no tiene inversa. (b) [1 5 puntos] Halla los valores de a y b para los que A 2 + aa + bi = O. Ejercicio 22. Considera el sistema de ecuaciones 5x + 2y z = 0 x + y + (m + 4)z = my 2x 3y + z = 0 (a) [1 punto] Determina los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. (b) [1 5 puntos] Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solución en la que z = 19. Ejercicio 23. Considera el sistema de ecuaciones (b + 1)x + y + z = 2 x + (b + 1)y + z = 2 x + y + (b + 1)z = 4 (a) [1 5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro b. (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Ejercicio 24. Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A =. (a) [1 25 puntos] Determina el valor de b para el que A 2 2A + I = O. (b) [1 25 puntos] Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A X 2A t = O, donde A t denota la matriz transpuesta de A. (2) Ejercicio 25. Considera el sistema de ecuaciones x + 3y + z = 5 mx + 2z = 0 my - z = m (a) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene una única solución. Calcula dicha solución para m = 1. (b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcula dichas soluciones.

6 (c) [0 5 puntos] Hay algún valor de m para el que el sistema no tiene solución? Ejercicio 26. [2 5 puntos] Halla la matriz X que cumple que A.X.A B =, siendo A = y B = (1) Ejercicio 27. Sean las matrices A =,B =, y C = (a) [1 punto] Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala (b) [1'5 puntos] Determina la matriz X que cumple que A.X + C.B t = B.B t, siendo B t la matriz transpuesta de B. Ejercicio 28. Considera el sistema de ecuaciones x+y+z = - 2 -λx+3y+z = -7 x+2y+(λ+2)z = - 5 (a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado (5) Ejercicio 29. Considera el sistema de ecuaciones lineales x y + z = 2 x + λ y + z = 8 λ x + y + λ z = 10 (a) [1 5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. (b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2. Ejercicio 30. Considera las matrices, y (a) [1 punto] Halla el valor de m R para el que la matriz A no tiene inversa. (b) [1 5 puntos] Resuelve A X = O para m = 3. (4)

7 Ejercicio 31. Considera las matrices, y (a) [1 punto] Halla el valor de m R para el que la matriz A no tiene inversa. (b) [1 5 puntos] Resuelve A X = O para m = 3. Ejercicio 32. Sea y sea I la matriz identidad de orden dos. (a) [1 25 puntos] Calcula los valores λ R tales que A λ I = 0. (b) [1 25 puntos] Calcula A 2 7A + 10 I. Ejercicio 33. Considera, siendo a un número real. (a) [1 punto] Calcula el valor de a para que A 2 A = (b) [ 1 punto] Calcula, en función de a, los determinantes 2 A y A t, siendo A t la traspuesta de A. (c) [0 5 puntos] Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta Ejercicio 34. [2.5 puntos] Resuelve (2) Ejercicio 35. Considera el sistema de ecuaciones lineales λx y z = - 1 x + λy + z = 4 x + y + z = λ + 2 (a) [1 5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. (b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2. Ejercicio 36. [2 5 puntos] Resuelve AB t X = - 2C, siendo B t la matriz traspuesta de B y (1), y Ejercicio 37. Sean u = (x, 2, 0), v = (x, 2, 1) y w = (2, x, 4x) tres vectores de R 3. (a) [1 punto] Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes.

8 (b) [1 5 puntos] Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos. Ejercicio 38. Considera el sistema de ecuaciones lineales λx + y z = 1 x +λy + z = λ x + y + λz = λ 2 (a) [1 5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. (b) [1 punto] Resuélvelo para λ = (6) Ejercicio 39. Sea A la matriz e I la matriz identidad de orden 3. (a) [1 25 puntos] Calcula los valores de λ para los que el determinante de A 2I es cero. (b) [1 25 puntos] Calcula la matriz inversa de A 2I para λ = 2. Ejercicio 40. Considera el sistema de ecuaciones x + y + m z = 1 m y z = 1 x + 2m y = 0 (a) [1 5 puntos] Clasifica el sistema según los valores de m. (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. (5) Ejercicio 41. (a) [1 5 puntos] Calcula el valor de m para el que la matriz verifica la relación 2A 2 - A = I y determina A -1 para dicho valor de m. (b) [1 punto] Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M 2 - M = I, determina la expresión de M 1 en función de M y de I. Ejercicio 42. [2 5 puntos] Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lo hacen compatible: (4) x+ my = m mx+ y = m mx+ my = 1 Ejercicio 43. [2 5 puntos] Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a, x + y + z = 0 (a + 1)y + 2z = y x 2y + (2 a)z = 2z

9 Ejercicio 44. Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales λx+ y+ (λ+ 1)z = λ+ 2 x + y + z = 0 (1 λ)x λy = 0 tiene más de una solución. (a) [1 5 puntos] Calcula, en dicho caso, el valor de la constante λ. (b) [1 punto] Halla todas las soluciones del sistema. Ejercicio 45. Considera las matrices y (a) [0 75 puntos] Determina los valores de α para los que la matriz A tiene inversa. (b) [1 75 puntos] Para α =1, calcula A -1 y resuelve la ecuación matricial AX = B. Ejercicio 46. Considera el sistema de ecuaciones x + y + z = 0 2x+ λy+ z = 2. x+ y+ λz = λ 1 (a) [1 5 puntos] Determina el valor de λ para que el sistema sea incompatible. (b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ=1. (2) Ejercicio 47. Considera la matriz. (a) [1 punto] Determina la matriz B = A 2 2A (b) [0 75 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa. (c) [0 75 puntos] Calcula B -1 para λ = 1 Ejercicio 48. (a) [1 punto] Calcula la matriz inversa de. (b) [1 5 puntos] Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz A -1 hallada en el apartado anterior. (1)

10 Ejercicio 49. Sea I la matriz identidad de orden 2 y (a) [1 25 puntos] Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A I) 2 = O, donde O es la matriz nula de orden 2 (b) [1 25 puntos] Para m = 2,halla la matriz X tal que AX 2A T = O, donde A T denota la matriz traspuesta de A. Ejercicio 50. Considera el sistema de ecuaciones ax + y + z = 4 x ay + z = 1 x + y + z = a + 2 (a) [1 5 puntos] Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. (b) [1 punto] Resuelve el sistema que se obtiene para a = (6) Ejercicio 51. (a) [1 punto] Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución: 2x + y + z = mx x +2y + z = my x +2y +4z = mz (b) [1 5 puntos] Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1. Ejercicio 52. Dada la matriz (a) [1 25 puntos] Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. (b) [1 25 puntos] Para k = 0, halla la matriz inversa de A. (5) Ejercicio 53. [2 5 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y el valor de k para el cual (A ki) 2 es la matriz nula.. Calcula, si existe, Ejercicio 54. Dadas las matrices y (a) [1 punto] Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. (b) [1 5 puntos] Resuelve la ecuación matricial AX + B = A + I, donde I denota la matriz identidad de orden 3. (4)

11 Ejercicio 55. [2 5 puntos] Dado el siguiente sistema de ecuaciones x + y = 1 ky + z = 0 x +(k + 1)y + kz = k +1 (a) [1 25 puntos] Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible. (b) [1 25 puntos] Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z = 2. Ejercicio 56. [2 5 puntos] Halla los valores del parámetro m que hacen compatible el sistema de ecuaciones: x +2y 2z = 2 2x + y + z = m x +3y z = m 2 Ejercicio 57. Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. (a) [1 25 puntos] Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50? (b) [1 25 puntos] Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada t Ejercicio 58. Considera la matriz. (a) [1 punto] Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3 (b) [1 5 puntos] Estudia si el sistema tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior. (2) Ejercicio 59. Considera el siguiente sistema de ecuaciones x + y + z = a - 1 2x + y + az = a x + ay + z = 1 (a) [1 5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a. (b) [1 punto] Resuelve el caso a = 2. Ejercicio 60. Sabemos que el sistema de ecuaciones

12 Tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación ax + y + 7z = 7 (a) [1 25 puntos] Determina el valor de a.. (b) [1 25 puntos] Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad. (1) Ejercicio 61. Dado el sistema de ecuaciones lineales x + λy z = 0 2x + y + λz = 0 x + 5y λz = λ +1 (a) [1 5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ. (b) [1 punto] Resuélvelo λ = 1. Ejercicio 62. [2 5 puntos] Dadas las matrices, y Calcula la matriz P que verifica AP B = C T (C T es la matriz traspuesta de C). Ejercicio 63. Sean F 1, F 2, F 3, las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) [0'5 puntos] El determinante de B -1. (b) [0'5 puntos] El determinante de (B t ) 4 (B t es la matriz traspuesta de B). (c) [0'5 puntos] El determinante de 2B. (d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F 1 - F 3, 3F 3, F 2. Ejercicio 64. [2'5 puntos] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30 % de las cajas (6) Ejercicio 65. Considera el sistema de ecuaciones λx +2y + 6z = 0 2x + λy + 4z = 2 2x + λy + 6z = λ 2 (a) [1 75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro λ. (b) [0 75 puntos] Resuélvelo para λ = 2.

13 Ejercicio 66. De la matriz A = se sabe que det(a) = 4. Se pide: (a) [1 25 puntos] Halla det( 3A t ) y det (A t es la matriz traspuesta de A).. Indica las propiedades que utilizas. (b) [0 75 puntos] Calcula det(a -1.A t ). (5) (c) [0 5 puntos] Si B es una matriz cuadrada tal que B 3 = I, siendo I la matriz identidad, halla det(b). (ci) Ejercicio 67. (a) [1 75 puntos] Discute, según los valores del parámetro λ, el siguiente sistema de ecuaciones -x + λy + z = λ λx + 2y + (λ +2)z = 4 x + 3y + 2z = 6- λ (b) [0 75 puntos] Resuelve el sistema anterior para λ = 0. Ejercicio 68. [2 5 puntos] Sean las matrices, y. Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB = C (4) Ejercicio 69. Sea la matriz A =. (a) [1 25 puntos] Comprueba que se verifica 2A A 2 = I. (b) [1 25 puntos] Calcula A -1. (Sugerencia: Puedes utilizar la igualdad del apartado (a)). Ejercicio 70. Considera el siguiente sistema de ecuaciones (m + 2)x y z = 1 x y + z = 1 x + my z = m (a) [1 75 puntos] Discútelo según los valores de m. (b) [1 punto] Resuelve para el caso m = 1. Ejercicio 71. Considera las siguientes matrices A = y B = (a) [0 75 puntos] Calcula A -1. (b) [1 75 puntos] Resuelve la ecuación matricial AXA t B = 2I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y A t es la matriz traspuesta de A.

14 Ejercicio 72. [2 5 puntos] Obtén un vector no nulo v =(a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2. (2) A = B = Ejercicio 73. Sean las matrices A =, B = y C = (a) [0'5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. (b) [2 puntos] Resuelve la ecuación XA B t = C para m = 0. (B t es la matriz traspuesta de B) Ejercicio 74. Sea el siguiente sistema de ecuaciones λx + y + z = λ + 2 2x - λy + z = 2 x - y + λz = λ (a) [1 75 puntos] Discútelo según los valores de λ. Tiene siempre solución? (b) [0 75 puntos] Resuelve el sistema para λ = -1. (1) Ejercicio 75. Considera el sistema 3x 2y + z = 5 2x 3y + z = 4 (a) [1 5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al añadirle la ecuación x + y + λz = 9 sea compatible indeterminado. (b) [1 punto] Existe algún valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solución? Ejercicio 76. Considera las matrices A = y B = (a) [0 5 puntos] Determina los valores de α para los que A tiene inversa. (b) [1 25 puntos] Calcula la inversa de A para α = 1. (c) [0 75 puntos] Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX = B.

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