6 + y 3 + z 7 = 8 Finalmente, el precio de la mochila (x) es igual a la suma del precio del bolígrafo (y) y del libro (z).


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1 Junio 0. Ejercicio B. (Puntuación máxima: puntos) Un estadio de futbol con capacidad para 7000 espectadores está lleno durante la celebración de un partido entre los equipos y B. Unos espectadores son socios del equipo, otros lo son del equipo B, y el resto no son socios de ninguno de lo equipos. través de la venta de localidades sabemos lo siguiente: (a) No hay espectadores que sean socios de ambos equipos simultáneamente. (b) Por cada socios de alguno de los dos equipos hay espectadores que no son socios. (c) Los socios del equipo B superan en 600 a los socios del equipo Cuántos socios de cada equipo hay en el estadio viendo el partido? x nº de socios de y nº de socios de B z nº de no socios Datos: ( a) x + y + z 7000 x + y + z 7000 x + y z ( b) : x + y z 0 ( c) y x x y 600 El sistema se puede resolver de forma muy sencilla por reducción. + y + z 7000 x + y z 0 y 600 Restando las dos primeras ecuaciones se calcula z 6 ª + ª: z 7000 z 00 El sistema se reduce a dos incógnitas y dos ecuaciones + y 800 Sumando x 000 : y 600 Restando y 6000 x 6000 y 00 Del equipo 6000 socios, del equipo B 00 socios Modelo 0. Ejercicio. (Puntuación máxima: puntos) Un estudiante ha gastado un total de 8 euros en la compra de una mochila, un bolígrafo y un libro. Si el precio de la mochila se redujera a la sexta parte, el del bolígrafo a la tercera parte y el del libro a la séptima parte de sus respectivos precios iniciales, el estudiante pagaría un total de 8 euros por ellos. Calcular el precio de la mochila, del bolígrafo y del libro, sabiendo que la mochila cuesta lo mismo que el total del bolígrafo y el libro. Sea x el precio de la mochila, y el precio del bolígrafo y z el precio del libro. Se sabe que la suma de ambos ha de ser 8, lo que nos lleva a la primera ecuación del problema: x + y + z 8 Por otra parte se sabe que el precio de la mochila reducido a la sexta parte, más el del bolígrafo reducido a la tercera y el del libro a la séptima suman un total de 8 euros: x 6 + y + z 7 8 Finalmente, el precio de la mochila (x) es igual a la suma del precio del bolígrafo (y) y del libro (z). x y + z Juntando las ecuaciones se tiene el sistema que es necesario resolver para obtener los precios de los productos:

2 x + y + z 8 x + y + z 8 x y z F F 7x + + 6z x y + z x y z El sistema se resuelve por cualquier método, obteniendo de solución: x ; y ; z Modelo 009. Ejercicio B. (Puntuación máxima: puntos) Un hotel adquirió un total de 00 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando para ello un total de 700 euros. El precio de una almohada es de 6 euros, el de una manta 0 euros y el de un edredón 80 euros. demás, el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones. Cuántas almohadas, mantas y edredones ha comprado el hotel? El problema se resuelve mediante un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Las incógnitas son: x Número de almohadas compradas por el hotel. y Número de mantas compradas por el hotel. z Número de edredones comprados por el hotel. Ecuaciones. Un hotel adquirió un total de 00 unidades entre almohadas, mantas y edredones. x + y + z 00 Gastando para ello un total de 700 euros. El precio de una almohada es de 6 euros, el de una manta 0 euros y el de un edredón 80 euros. 6x + 0y + 80z 700 El número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones. x y + z Ordenando se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. x + y + z 00 6x + 0y + 80z 700 x y z : 60 0 Sistema compatible determinado ( Cramer) x x y x x z El sistema se puede resolver por cualquier método conocido, recomiendo el método de Cramer por ser el más metódico, aunque en este caso, sumando la ª y ª ecuación se puede despejar x, dejando el sistema reducido a dos ecuaciones con dos incógnitas.

3 Septiembre 008. Ejercicio. (Puntuación máxima: puntos) Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos, B y C. Cada casa de tipo necesita 0 horas de albañilería, de fontanería y de electricista. Cada casa de tipo B necesita horas de albañilería, de fontanería y de electricista. Cada casa de tipo C necesita 0 horas de albañilería, 6 de fontanería y de electricista. La empresa emplea exactamente 70 horas de trabajo al mes de albañilería, 68 de fontanería y 8 de electricista. Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes? Variables: x número de casas tipo y número de casas tipo B z número de casas tipo C Los datos se pueden reunir en un cuadro de contingencia. lbañilería Fontanería Electricista Tipo 0 Tipo B Tipo C 0 6 Totales Cada tipo de trabajo permite plantear una ecuación. 0x + y + 0z 70 + y + z SIMPLIFICNDO x + y + 6z 68 x + y + z x + y + z 8 + y + z 8 Para resolver el sistema se calcula el determinante de la matriz de coeficientes, si 0, sistema compatible determinado, se resuelve por el método de Cramer. x x det : y Solución: 0 casas tipo, 6 casas tipo B y casas tipo C. y ( ) : z z 8 Junio 008. Ejercicio. (Puntuación máxima: puntos) Un agricultor tiene repartidas sus 0 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho? Problema de tres incógnitas con tres ecuaciones. Incógnitas: - x nº de hectáreas dedicadas a barbecho. - y nº de hectáreas dedicadas a trigo - z nº de hectáreas dedicadas a cebada. Ecuaciones: Número total de hectáreas 0: x + y + z 0 La superficie dedicada al trigo ocupa hectáreas más que la dedicada a la cebada: y z + La superficie dedicada a barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada:

4 x y + z 6 Ordenando se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que al resolverlo nos da la superficie dedicada a cada cosa. + y + z 0 y z y z 6 Sumando la ª y la ª ecuación se despeja x. x + y + z 0 + x y z 6 ( ): x : x Sustituyendo n l sistema el valor de x, se reduce a dos ecuaciones con dos incógnitas, que sumando y restando permite calcar las variables que faltan. y + z 8 y + z 8 ( + ): y 0 : y ( ) : z 6 : y y z y z x ; y ; z También se puede resolver por el método de Cramer. Septiembre 00. Ejercicio B. (Puntuación máxima: puntos) Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un % en un cierto producto, un 6% en el producto B y un % en el producto C. las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de, un 0% sobre el precio inicial de B y un 6% sobre el precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto, dos B y tres C, se ahorra 6 euros respecto del precio inicial. Si compra tres productos, uno B y cinco C en la segunda oferta, el ahorro es de 9 euros. Si compra un producto, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar euros. Calcúlese el precio de cada producto antes de las ofertas. Se pide plantear y resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. x Precio del articulo y Precio del articulo B z Precio del articulo C ª Ecuación. horro en la primera oferta: 6 x + y ª Ecuación. horro en la segunda oferta 8 0 x + y ª Ecuación. Gasto en la compra sin ofertas x + y + z z 6 z 9 Multiplicando las dos primera ecuaciones por cien y dividiendo la segunda por dos se obtiene el siguiente sistema: x + y + z 600 x + y + z 0 x + y + z Para resolver el sistema se estudia el determinante de la matriz de coeficientes

5 0 0 por ser distinto de cero, el sistema es compatible determinado, se resuelve por Cramer x x 0 x Septiembre 000. Ejercicio. (Puntuación máxima: puntos) Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a euros. Se quiere que el valor disponible en euros sea el doble del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a euros y un dólar es igual a euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible. x Dinero disponible en euros; y Dinero disponible en dólares; z Dinero disponible en libras Una libra esterlina es igual a euros x, z Un dólar es igual a euros x, y El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a euros x +,y +, z 6000 Se quiere que el valor disponible en euros sea el doble del dinero en dólares x,y El valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros,z x/0 Las tres condiciones permiten plantear un sistema de ecuaciones lineales +,y +,z 6000 x,y x z 6000 Resolviendo por sustitución: y 7000 z 000

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