1. Cortar y teñir el material 2. Coser 3. Terminar (insertar el porta sombrilla, los separadores de palos, etc.) 4. Inspeccionar y embalar


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1 UN PROBLEMA SENCILLO DE MAXIMIZACION La compañía Par, Inc. Es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyos administradores han decidido incursionar en el mercado de las bolsas para bastones de golf hechas de piel, a precios mediano y alto. El distribuidor de Par esta muy entusiasmado con la nueva linea de productos y ha aceptado comprar todas las bolsas de golf que fabrique Par en los tres meses siguientes. Después de una investigación cuidadosa de las etapas necesarias para fabricar una bolsa, los administradores determinan que cada bolsa que se fabrique requerirá de las siguientes operaciones: 1. Cortar y teñir el material 2. Coser 3. Terminar (insertar el porta sombrilla, los separadores de palos, etc.) 4. Inspeccionar y embalar El director de manufactura ha analizado cada una de las operaciones y llegado a la conclusión de que si la compañía fabrica un modelo estándar de precio medio, se requerirá 7/10 de hora en el departamento de corte y teñido, ½ hora en el departamento de costura, 1 hora en el departamento de terminado, y 1/10 de hora en el departamento de inspección y embalaje. El modelo de lujo más costoso requerirá de 1 hora de corte y teñido, 5/6 de hora para costura, 2/3 de hora para el terminado, y ¼ de hora para la inspección y embalaje. El departamento de costos ha analizado estas cifras de producción, ha asignado todos los costos pertinentes y llegado a la conclusión de que se obtendría un a contribución a las utilidades de $10 para cada bolsa estándar, y de $9 para cada bolsa de lujo que se fabrique. Tiempo de Producción (horas) Producto Corte y teñido Costura Terminado Inspección y embalaje Bolsa estándar 7/10 ½ 1 1/10 Bolsa de lujo 1 5/6 2/3 ¼ Además después de estudiar las proyecciones de las cargas de trabajo en los departamentos, el director de manufactura estima que para la producción de la bolsa de golf en los 3 meses siguientes, habrá disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de costura, 708 horas de acabado y 135 horas de inspección y embalaje. El problema de Par es determinar cuántas bolsas estándares y cuantas bolsas de lujo deben fabricar con objeto de maximizar la contribución a las utilidades.

2 Planteamiento matemático del problema: Maximizar: Z = 10x 1 + 9x 2 7/10 x x corte y teñido 1/2 x 1 + 5/6 x costura 1 x 1 + 2/3 x terminado 1/10 x 1 + 1/4 x inspección y embalaje x 1 + x 2 0

3 UN PROBLEMA SENCILLO DE MINIMIZACIÓN Considérese el caso de la M&D Chemicals. Esta empresa manufactura dos productos que se venden como materia prima a compañías que fabrican jabones para baño, detergentes y otros productos de jabón. Con base en un análisis de los niveles actuales de M&D Chemicals han especificado que la producción total combinada de los productos 1 y 2 puede ser cuando menos 350 galones. Por otro lado, se debe satisfacer un pedido de un cliente importante de 125 galones de producto 1. el producto 1 requiere de 2 horas de tiempo de procesamiento por galón, en tanto que el producto 2 requiere de 1 hora de tiempo de procesamiento por galón, y existen disponibles 600 horas de tiempo de procesamiento para el siguiente mes. El objetivo de la M&D es satisfacer los requisitos anteriores incurriendo en un costo de producción mínimo. Los costos de producción son de $2 por galón de producto 1 y de $3 por galón de producto 2. Planteamiento matemático: Minimizar: Z = 2 x x 2 1 x demanda de producto 1 1 x x producción total 2 x x tiempo de procesamiento x 1 + x 2 0

4 EJERCICIOS: 1.- Maximizar Z = 4x 1 + 5x 2 2x 1 + 3x x x 2 80 a) encuentre la solución optima para el problema utilizando el método gráfico b) cuantos vértices hay en la gráfica? Encuentre los valores de dichos vértices 2.- Maximizar Z = 3x 1 + 2x 2 x 1 10 x 2 10 x 1 + x 2 16 a) muestre gráficamente la región factible del problema b) cuales son los valores para los vértices del problema? c) Resuelva el problema encontrando la solución optima d) Si se cambiara la función objetivo a 2x1 + 3x2, cuál seria la solución optima? 3.- Maximizar Z = 3x 1 + 1x 2 6x 1 + 4x x 1 + 6x 2 42 a) Resuelva gráficamente el problema b) Utilizando los resultados demuestre que la solución optima de un problema de PL es factible, pero una solución factible no necesariamente es la optima. 4.- Maximizar Z = 2x 1 + 2x 2 3x 1 + 2x x 1 + 7x x 1 + 6x 2 30

5 Maximizar Z = 1x 1 + 1x 2 2x 1 + 4x x 1 + 2x 2 12 Maximizar Z = 20x x 2 8x 1 + 6x x 1 + 8x x 1 + 7x 2 = 42 Maximizar Z = 10x 1 + 5x 2 4x 1 + 2x x 1 + 3x x 2 3 Maximizar Z = 8x x 2 4x 1 + 6x x 1 + 3x x 1 + 1x Minimizar Z = 50x x 2 2x 1 + 1x 2 0 1x 1 + 4x x x MAX Z = 6X 1 + 4X 2 2X 1 + 3X X 1 + 2X 2 24 X 1 + X 2 3 X 1, X 2 0

6 11.- MAX Z = 4X 1 + 3X 2 2X 1 + 3X 2 6-3X 1 + 2X 2 3 2X 2 5 2X 1 + X 2 4 X 1, X MAX Z = 3X1 + 2X2 2X 1 + 2X 2 8 3X 1 + 2X X X MAX Z = 4X1 + 1X2 10X 1 + 2X X 1 + 2X X 1 + 2X La firma Erlanger Manufacturing Company fabrica dos productos. Las estimaciones de las utilidades son de $25 dólares por cada unidad que se venda del producto 1, y $30 por cada unidad que se venda del producto 2. en seguida se resumen los requerimientos de mano de obra por hora para los productos en cada uno de tres departamentos: Producto 1 Producto 2 Departamento A Departamento B Departamento C Los supervisores de producción de cada departamento han estimado que estarán disponibles las siguientes cantidades de mano de obra para el siguiente mes: 450 hrs. En el departamento A, 350 hrs. En el departamento B, y 50 hrs. En el departamento C. Suponiendo que a la empresa le interesa maximizar utilidades, responda lo siguiente: Qué cantidad se debe fabricar de cada producto y cual es la utilidad que se proyecta? Cuál es el tiempo de holgura en cada departamento?

7 15.- La Yard Care Inc., fabrica diversos productos para jardín, incluyendo dos fertilizantes muy conocidos. Cada uno de los fertilizantes es una mezcla de dos materias primas conocidas como K40 y K50. Durante el periodo de fabricación actual existen disponibles 900 libras de K40 y 400 libras de K50. Cada libra del producto llamado jardín verde utiliza 3 / 5 de libra de K40 y 2 / 5 de K50. Cada libra del producto designado como atención al jardín utiliza 3 / 4 de libra de K40 y 1 / 4 de libra de K50. Ademas, un determinado limite sobre la disponibilidad en materiales de empaque restringe la producción de atención al jardín a un máximo de 500 libras. Si la contribución a las utilidades para ambos productos es de $3 dólares por libra, Cuántas libras debe fabricar la compañía de cada producto? 16.- En Ryland Farms, en el noreste del estado de Indiana, se cultiva frijol de soya y maíz en un maximo de 500 acres de terreno. Un acre de frijol de soya produce utilidades de $100 (dólares) y un acre de maíz produce utilidades de $200. Debido a un programa gubernamental, no se pueden plantar más de 200 acres de frijol de soya. Durante la época de siembra, se dispondrá de 1200 horas de tiempo para sembrar. Cada acre de frijol de soya requiere de dos horas mientras que cada acre de maíz requiere de 6 horas. Cuántos acres de frijol de soya y cuantos acres de maíz se deben plantar con el objeto de maximizar las utilidades? 17.- Wilkinson motors, vende automóviles estándares y camionetas. La empresa obtiene una utilidad de $400 dólares por cada automóvil que vende y $500 dólares por cada camioneta. La compañía esta planeando el periodo para el siguiente trimestre, del cual el fabricante manifiesta que no puede exceder de 300 automóviles y de 150 camionetas. El tiempo de preparación que requiere en distribuidor es e 2 horas por cada automóvil y de 3 horas para cada camioneta. Para el siguiente trimestre, la compañía dispone de 900 horas de tiempo de taller para la preparación de los vehículos. Cuántos automóviles y cuantas camionetas se deben pedir para maximizar las utilidades? 18.- En una pastelería se hacen dos tipos de pasteles: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de pan y produce un beneficio de 250 Pesos, mientras que un pastel Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de pan y produce 400 Pesos. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de pan y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuántos pasteles de 1 kg Vienesos y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

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