Soluciones a las actividades


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1 Soluciones a las actividades

2 BLOQUE I Álgebra 1. Sistemas lineales 2. Matrices 3. Determinantes 4. Sistemas lineales con parámetros

3 1 Sistemas lineales 1. Sistemas de ecuaciones lineales Piensa y calcula Resuelve mentalmente el siguiente sistema: x = 1, y = 4, z = 2 2x + y z = 0 y + z = 6 z = 2 Aplica la teoría 1. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y clasifícalos: a) x + 2z = 0 b) x y + z = 1 x + y + 2z = 1 3x + y 2z = 5 2x + 3y = 1 x 2y + z = 0 a) Se escriben a la derecha las operaciones que hay que realizar: x + 2z = 0 x + y + 2z = 1 2ª 1ª 2x + 3y = 1 3ª 2 1ª x + 2z = 0 y = 1 3y 4z = 1 y = 1 x + 2z = 0 x 2 = 0 x = 2 y = 1 y = 1 3 4z = 1 z = 1 z = 1 La solución del sistema es: x = 2, y = 1, z = 1 b) Se escriben a la derecha las operaciones que hay que realizar: x y + z = 1 3x + y 2z = 5 x 2y + z = 0 x 1 + z = 1 4 5z = 2 y = 1 x 1 + 2/5 = 1 z = 2/5 y = 1 z = 2/5 2ª 3 1ª 1ª 3ª x = 8/5 x y + z = 1 4y 5z = 2 y = 1 La solución del sistema es: x = 8/5, y = 1, z = 2/5 2. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y clasifícalos: a) x + y + 2z = 3 b) 2x + y + z = 1 2x y + z = 9 x + 2y + z = 2 x y 6z = 5 x + y + 2z = 4 a) Se escriben a la derecha las operaciones que hay que realizar: x + y + 2z = 3 2x y + z = 9 x y 6z = 5 x + y + 2z = 3 3y + 3z = 3 2y + 8z = 2 x + y + 2z = 3 y + z = 1 y + 4z = 1 x + y + 2z = 3 y + z = 1 3z = 0 x 1 = 3 y = 1 z = 0 x = 4 2 1ª 2ª 1ª 3ª 2ª : 3 3ª : 2 3ª 2ª x + y = 3 y = 1 z = 0 z = 0 La solución del sistema es: x = 4, y = 1, z = 0 70 SOLUCIONARIO

4 b) La 1ª ecuación se coloca la 3ª y se escriben a la derecha las operaciones que hay que realizar: x + 2y + z = 2 x + y + 2z = 4 2x + y + z = 1 x + 2y + z = 2 y z = 2 3y + z = 3 x + 2y + z = 2 y z = 2 4z = 9 x + 2y + 9/4 = 2 y 9/4 = 2 z = 9/4 x + 1/2 + 9/4 = 2 y= 1/4 z = 9/4 La solución del sistema es: x = 3/4, y = 1/4, z = 9/4 3. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y clasifícalos: a) 2x + y + 4z = 1 b) 8x + 3y + 2z = 4 x + 2y 2z = 1 2x y = 0 y + z = 2 2x + 2z = 1 a) Se permutan la 1ª y la 2ª ecuación, y se escriben las operaciones que hay que realizar: x + 2y 2z = 1 2x + y + 4z = 1 y + z = 2 x + 2y 2z = 1 5y = 3 y + z = 2 x + 6/5 2z = 1 y = 3/5 3/5 + z = 2 x + 6/5 14/5 = 1 y = 3/5 z = 7/5 La solución del sistema es:x = 13/5,y = 3/5,z = 7/5 b) Se coloca la 2ª ecuación en primer lugar, se permutan las columnas de x e y, y se escriben las operaciones que hay que realizar: y + 2x = 0 3y + 8x + 2z = 4 2x + 2z = 1 3ª 3 2ª 1ª 2ª 2 1ª 3ª z = 9/4 y = 1/4 2 1ª + 2ª y = 3/5 z = 7/5 3 1ª + 2ª x = 13/5 x = 3/4 y + 2x = 0 14x + 2z = 4 2x + 2z = 1 y + 2x = 0 7x + z = 2 12z = 3 y + 2x = 0 7x + 1/4 = 2 z = 1/4 y + 1/2 = 0 x = 1/4 z = 1/4 La solución del sistema es: x = 1/4, y = 1/2, z = 1/4 4. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y clasifícalos: a) x y = 0 3x + 2y = 0 y + z = 0 b) x + 2z = 3 3x + y + z = 1 2y z = 2 x y 2z = 5 a) Se escriben las operaciones que hay que realizar: x y = 0 1ª x + y = 0 3x + 2y = 0 2ª + 3 1ª y = 0 y + z = 0 y + z = 0 La solución del sistema es: x = 0, y = 0 y z = 0, que es la solución trivial. El sistema es homogéneo compatible determinado. b) Se escriben las operaciones que hay que realizar: x + 2z = 3 3x + y + z = 1 2y z = 2 x y 2z = 5 x + 2z = 3 y 5z = 10 2y z = 2 y + 4z = 8 x + 2z = 3 y 5z = 10 9z = 18 2ª 3 1ª 1ª 4ª 3ª 2 2ª x + 4 = 3 y 10 = 10 z = 2 z = 2 2ª : 2 7 3ª 2ª z = 1/4 y = 1/2 x = 1/4 Se elimina la 4ª ecuación porque es 4ª = 3ª 2ª x = 1 y = 0 La solución del sistema es: x = 1, y = 0, z = 2 x= 0 y = 0 z = 0 TEMA 1. SISTEMAS LINEALES 71

5 2. Estudio de los sistemas Piensa y calcula Indica el número de soluciones que tienen los siguientes sistemas y clasifícalos: a) x + y = 1 b) x + y = 1 c) x + y = 1 2x + 2y = 2 2x + 2y = 5 x y = 1 a) Infinitas soluciones, porque la 2ª es el doble de la 1ª. b) No tiene solución, porque la 2ª ecuación es el doble de la 1ª excepto el término independiente. El sistema es heterogéneo incompatible. c) Una solución. Aplica la teoría 5. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: 6. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) x + 2y z = 6 b) x + z = 1 x + y + 2z = 7 x + y = 0 2x y z = 3 x + z = 1 a) x + y + 4z = 1 b) x 3y + z = 1 x + y 2z = 1 2x y 3z = 2 y + z = 1 x + y 3z = 3 a) Se escriben las operaciones que hay que realizar: a) Se escriben las operaciones que hay que realizar: x + 2y z = 6 x + y + 2z = 7 2x y z = 3 1ª 2ª 2 1ª 3ª x + y + 4z = 1 x + y 2z = 1 y + z = 1 x + y + 4z = 1 1ª + 2ª 2y + 2z = 2 y + z = 1 2ª = 2 3ª x + 2y z = 6 y 3z = 1 5y z = 9 x + 2y z = 6 y 3z = 1 14z = 14 x + 2y 1 = 6 y 3 = 1 z = 1 x = 6 y = 2 y = 2 z = 1 La solución del sistema es: x = 3, y = 2, z = 1 b) Se elimina la 1ª ecuación porque es igual a la 3ª: x + y = 0 x + z = 1 1 z + y = 0 x = 1 z La solución del sistema es: x = 1 z, y = 1 + z x = 1 l y = 1 + l y = 1 + z 3ª 5 2ª z = 1 x = 3 x + y = 1 4z y = 1 z x = 3z y = 1 z x + 1 z = 1 4z y = 1 z La solución del sistema es: x = 3z, y = 1 z b) Se escriben las operaciones que hay que realizar: x 3y + z = 1 2x y 3z = 2 x + y 3z = 3 x 3y + z = 1 y z = 0 2y 2z = 1 x = 3l y = 1 l 2ª 2 1ª 3ª 1ª 3ª 2 2ª x 3y + z = 1 5y 5z = 0 4y 4z = 2 x 3y + z = 1 y z = 0 0 = 1 Se observa que se ha llegado a una contradicción, 0 = 1, que es imposible. El sistema no tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. 2ª : 5 3ª : 2 72 SOLUCIONARIO

6 7. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) 3x + y + 4z = 1 b) 4x + y + 2z = 0 x 3y 2z = 1 2x + y = 0 y + z = 3 x + z = 0 a) Se permutan la 1ª y la 2ª ecuación cambiando de signo la 2ª ecuación y se escriben las operaciones que hay que realizar: x + 3y + 2z = 1 3x + y + 4z = 1 y + z = 3 x + 3y + 2z = 1 10y + 10z = 2 y + z = 3 x + 3y + 2z = 1 5y + 5z = 2 0 = 28 Se observa que se ha llegado a una contradicción, 0 = 28, que es imposible. El sistema no tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. b) Se permutan las columnas de las y con las x y se escriben las operaciones que hay que realizar: y + 4x + 2z = 0 y + 2x = 0 x + z = 0 y + 4x + 2z = 0 2x + 2z = 0 x + z = 0 y + 4x + 2z = 0 2ª = 2 3ª x + z = 0 1ª 2ª 2ª 3 1ª 2ª : ª 2ª x + z = 0 x = z y = 0 y = 0 La solución del sistema es: x = z, y = 0 El sistema es homogéneo compatible indeterminado. b) Se escriben las operaciones que hay que realizar: x + 2y 2z = 1 x 3y + z = 6 3x + y + z = 2 x + 2y 2z = 1 y z = 7 5y 7z = 1 x + 2y 2z = 1 y z = 7 12z = 36 x + 2y + 6 = 1 y + 3 = 7 z = 3 x = 1 y = 4 z = 3 x = l y = 0 3ª + 5 2ª y = 4 x = 3 1ª + 2ª 3 1ª 3ª z = 3 La solución del sistema es: x = 3, y = 4, z = 3 y + 4x = 2z y 4z = 2z y = 2z x = z x = z x = z La solución del sistema es: x = z, y = 2z El sistema es homogéneo compatible indeterminado. 8. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) x + y + z = 0 2x + y + 2z = 0 b) x + 2y 2z = 1 x 3y + z = 6 3x + y + z = 2 a) Se escriben las operaciones que hay que realizar: x + y + z = 0 2x + y + 2z = 0 2 1ª 2ª x + y + z = 0 y = 0 x = l y = 2l 9. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) 3x y + 2z = 1 b) 3x + y 2z = 8 x + 4y + z = 1 x + 2y + z = 1 2x 5y + z = 2 2x 3y + z = 3 a) Se permutan las dos primeras ecuaciones y se escriben las operaciones que hay que realizar: x + 4y + z = 1 3x y + 2z = 1 2x 5y + z = 2 x + 4y + z = 1 13y + z = 2 13y + z = 4 3 1ª 2ª 2 1ª 3ª x + 4y + z = 1 13y + z = 2 3ª 2ª 0 = 2 Se observa que se ha llegado a una contradicción, 0 = 2, que es imposible. El sistema no tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. TEMA 1. SISTEMAS LINEALES 73

7 b) Se permutan la 1ª y la 2ª ecuación y se escriben las operaciones que hay que hacer: x + 2y + z = 1 3x + y 2z = 8 2x 3y + z = 3 x + 2y + z = 1 5y + 5z = 5 7y + z = 1 x + 2y + z = 1 y + z = 1 7y + z = 1 x + 2y + z = 1 y + z = 1 6z = 6 x + 2y + 1 = 1 y + 1 = 1 z = 1 3 1ª 2ª 2 1ª 3ª 2ª : 5 7 2ª 3ª z = 1 x + 1 = 1 y = 0 y = 0 z = 1 La solución del sistema es: x = 2, y = 0, z = Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) 2x + y z = 0 b) x y = z x y z = 0 x + z = y 3x 2z = 0 y z = x x = 2 a) Se cambia la columna de x al final y se escriben las operaciones que hay que realizar: y z + 2x = 0 y z + x = 0 2z + 3x = 0 y z + 2x = 0 2z + 3x = 0 y + 4z/3 = z x = 2z/3 y z + 2x = 0 1ª + 2ª 2z + 3x = 0 2z + 3x = 0 y + 2x = z 3x = 2z La solución del sistema es: x = 2z/3, y = z/3 El sistema es homogéneo compatible indeterminado. b) Se pasan todas las incógnitas al primer miembro, se ordenan y se escriben las operaciones que hay que realizar: x y z = 0 x y + z = 0 x + y z = 0 x y = 0 z = 0 x = y x y z = 0 2ª 1ª 2z = 0 = 2ª z = 0 La solución del sistema es: x = y, z = 0 El sistema es homogéneo compatible indeterminado. y = z/3 x = 2l/3 y = l/3 x = 2z/3 x = l y = l z = 0 3. Interpretación gráfica Piensa y calcula Representa en el plano las rectas del siguiente sistema e interprétalo gráficamente: x + y = 0 x y = 0 Y X Las dos rectas son secantes. La solución del sistema es x = 0, y = 0 74 SOLUCIONARIO

8 Aplica la teoría 11. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: a) 3x + y = 4 b) 2x y = 3 3x + y = 2 4x + y = 3 a) 3x + y = 4 3x + y = 2 3x + y = 4 1ª 2ª 0 = 2 Se observa que se ha llegado a una contradicción, 0 = 2, que es imposible. El sistema no tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. La interpretación gráfica es que son dos rectas paralelas. Y Se sustituye z = 0 en la 1ª y 2ª ecuaciones. x + y = 3 x + y = 3 z = 0 La solución del sistema es: x = 3 y, z = 0 x = 3 l y = l z = 0 La interpretación gráfica es que los tres planos se cortan en una recta. x = 3 y z = 0 X recta b) Se permutan las columnas de las x y de las y. Se escriben las operaciones que hay que realizar: y + 2x = 3 y + 4x = 3 y + 2 = 3 x = 1 y + 2x = 3 1ª + 2ª 6x = 6 y = 1 La solución del sistema es: x = 1, y = 1 La interpretación gráfica es que son dos rectas secantes que se cortan en el punto P(1, 1) Y x = Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: La 1ª ecuación se pone la 3ª y se escriben las operaciones que hay que realizar: x + 2y z = 1 x + y 6z = 10 2x y + 3z = 1 2x y + 3z = 1 x + 2y z = 1 x + y 6z = 10 1ª 2ª 2 1ª 3ª X x + 2y z = 1 y + 5z = 11 5y 5z = 1 5 2ª 3ª P(1, 1) x + 2y z = 1 y + 5z = 11 30z = 54 z = 9/5 12. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: x + y + z = 3 x + y z = 3 z = 0 x + 2y 9/5 = 1 y + 9 = 11 z = 9/5 x + 4 9/5 = 1 y = 2 z = 9/5 y = 2 x = 6/5 La solución es: x = 6/5, y = 2, z = 9/5 TEMA 1. SISTEMAS LINEALES 75

9 La interpretación gráfica es que los tres planos se cortan en un punto, que es la solución del sistema. x + 3y + 3z = 3 11y + 11z = 24 4y + 4z = 16 x + 3y + 3z = 3 11y + 11z = 24 y + z = 4 3ª : ª 2ª 14. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: P 3x + 2y + 2z = 15 3x 2y 2z = 1 x + 3y + 3z = 3 x + 3y + 3z = 3 11y + 11z = 24 0 = 20 Se observa que se ha llegado a una contradicción, 0 = 20, que es imposible. El sistema no tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. La interpretación gráfica es que los tres planos no se cortan a la vez. Se cortan dos a dos. La 3ª ecuación se pone la 1ª y se escriben las operaciones que hay que realizar: x + 3y + 3z = 3 3x + 2y + 2z = 15 3x 2y 2z = 1 2ª + 3 1ª 2ª 3ª 4. Resolución de problemas Piensa y calcula Plantea un sistema de ecuaciones para resolver el siguiente enunciado: «Encuentra dos números cuya suma sea 14 y el doble del mayor menos el menor sea 10» Nº mayor: x Nº menor: y x + y = 14 x = 8, y = 6 2x y = 10 Los números son 8 y 6 Aplica la teoría 15. Si la altura de Carlos aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de Toni y de Juan, Carlos sería igual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Toni es igual que nueve veces la de Carlos. Halla las tres alturas. Altura de Carlos: x Altura de Toni: y Altura de Juan: z 76 SOLUCIONARIO

10 x + 3(y z) = z x + y + z = 515 8y = 9x x + 3y 4z = 0 x + y + z = 515 9x 8y = 0 y = 3x x + y + z = 80 x y + 5 = z x = 160 y = 180 z = 175 3x + y = 0 x + y + z = 80 x + y z = 0 x = 10 y = 30 z = 40 Las estaturas son: Altura de Carlos: 160 cm Altura de Toni: 180 cm Altura de Juan: 175 cm Las edades actuales son: Madre: 30 años. Hijo: 10 años. Padre: 40 años. 16. Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se obtiene un vino de 10 grados (10% de alcohol). Si, por el contrario, se mezclan 20 litros de blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 grados. Qué graduación tendrá una mezcla de 40 litros de vino blanco con 40 litros de vino tinto? Alcohol en el vino blanco: x Alcohol en el vino tinto: y 60x + 20y = 800 x = 9,5 20x + 60y = 880 y = 11,5 La graduación de cada vino es: Alcohol en el vino blanco: 9,5 Alcohol en el vino tinto: 11,5 La graduación de 40 litros de cada clase será: 9,5 + 11,5 2 = 10,5 18. Alba compra tres pantalones, dos camisas y un sombrero por 135. Natalia compra un pantalón, tres camisas y un sombrero por 100. Javier compra dos pantalones, tres camisas y dos sombreros por 155. Si todos los artículos se han comprado al mismo precio, cuál es el precio de cada una de las prendas? Precio del pantalón: x Precio de la camisa: y Precio del sombrero: z 3x + 2y + z = 135 x + 3y + z = 100 2x + 3y + 2z = 155 Precio del pantalón: 25 Precio de la camisa: 15 Precio del sombrero: 30 x = 25 y = 15 z = La edad de una madre es en la actualidad el triple de la de su hijo. Las edades del padre, la madre y el hijo suman 80 años, y dentro de 5 años, la suma de las edades de la madre y del hijo será 5 años más que la del padre. Cuántos años tienen en la actualidad el padre, la madre y el hijo? Hijo Actualmente x Dentro de 5 años x + 5 Madre y y + 5 Padre z z + 5 TEMA 1. SISTEMAS LINEALES 77

11 Ejercicios y problemas PAU Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno: 1 El siguiente sistema es: 7 La solución del siguiente sistema es: 2 3 2x + y = 0 x + y = 1 x 2y = 2 Heterogéneo. Homogéneo. No se puede clasificar porque tiene más ecuaciones que incógnitas. Ninguna de las anteriores. Se llama sistemas equivalentes a: Los que tienen el mismo número de ecuaciones. Los que tienen las mismas soluciones. Los que tienen el mismo número de incógnitas. Ninguna de las respuestas anteriores. Cuál de estas transformaciones no produce un sistema equivalente? Suprimir ecuaciones que sean combinación lineal de las restantes. Cambiar de orden las ecuaciones. Sumar a una ecuación una combinación lineal de las restantes. Suprimir una incógnita que tenga el mismo coeficiente en todas las ecuaciones. 8 9 x = 1, y = 0, z =1 x = 1, y = 2 l,; x = l, y = 2 l,; No tiene solución. La solución del siguiente sistema es: x = 1, y =1, z = 5 x = 1 + l,y = l,; Es incompatible. x + y + z = 1 y + z = 2 x + y + z = 3 x + 3y z = 1 2x + 6y 2z = 2 5x + 15y 5z = 5 x = 1 + l 3µ,y = µ,; l, µé En el siguiente sistema no cambia la solución si añadimos la ecuación: En un sistema compatible determinado: Existen infinitas soluciones. No existe solución. Existe una solución. Ninguna de las respuestas anteriores. Un sistema homogéneo Es siempre compatible indeterminado. Es incompatible. Es siempre compatible. Es siempre compatible determinado. La solución del siguiente sistema es: x = 1, y = 2, z = 0 x = 1, y = 0, z = 2 x = 1, y = 0, z = 2 No tiene solución. x + y + z = 3 2x 4y z = 0 3x 2y 5z = 7 10 Cualquier ecuación que se añada cambiará la solución. y + 2z = 5 y + 2z = 1 2x + 3y = 0 Un comercio tiene un total de 270 unidades de un producto de tres tipos: A, B y C. Del tipo A tiene 30 unidades menos que de la totalidad de B más C, y del tipo C tiene el 35% de la suma de A más B. El número de productos que hay en el comercio de cada tipo es: x + 2y + z = 1 x y + z = 0 Del tipo A hay 120; del tipo B, 80, y del tipo C, 70 Del tipo A hay 120; del tipo B, 70, y del tipo C, 80 El problema no tiene solución. Del tipo A hay 100; del tipo B, 90, y del tipo C, SOLUCIONARIO

12 Ejercicios y problemas 1. Sistemas de ecuaciones lineales 19. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y clasifícalos: a) 5x + 2y + 3z = 4 b) x + z = 2 2x + 2y + z = 3 x + y = 3 x 2y + 2z = 3 x + y + z = 0 a) x = 1, y = 1, z = 1 b) x = 5, y = 2, z = Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y clasifícalos: 9 5z 13z 3 b) x =, y = l x = 6 13l 3 y = Discute el siguiente sistema y clasifícalo para el valor a= 0: x + 2y + z = a x + y az = a 2x + 3y + z = a a) x + y + z = 2 b) 3x + y + z = 6 x y + 2z = 1 x + 3y + z = 10 2x + y + 2z = 0 x + y + 3z = 4 a) x = 9, y = 4, z = 7 b) x = 3, y = 5, z = 2 a) x = z, y = z x = l y = l El sistema es homogéneo compatible indeterminado. 21. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) x + y + 2z = 2 b) x + 2y + z = 9 2x y + 3z = 2 2x y + 2z = 2 5x y + z = 6 x + y + 2z = 8 a) x = 4/3, y = 2/3, z = 0 b) x = 2, y = 4, z = Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) 2x 3y + z = 0 b) x z = 0 x + 2y z = 0 x y +z = 0 4x + y z = 0 x + y + z = 0 a) x = z/7, y = 3z/7 x = l/7 y = 3l/7 2. Estudio de los sistemas 22. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) x + 2y z = 2 b) x + y 3z = 2 x + z = 2 4x + 2y z = 5 x y = 1 2x + 4y 7z = 1 a) x = 1/2, y = 1/2, z = 5/2 El sistema es homogéneo compatible indeterminado. b) x = 0, y = 0, z = 0 El sistema es homogéneo compatible determinado. 25. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) 2x + 2y 2z = 1 b) x + y + 2z = 1 2x + y 2z = 1 2x + 2y + z = 2 2z + 1 a) x =, y = 0 2 TEMA 1. SISTEMAS LINEALES 79

13 Ejercicios y problemas 2l + 1 x = 2 y = 0 b) x = 1 y, z = 0 x = 1 l y = l z = Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) x + y z = 1 b) 2x + 3y 4z = 1 2x y + 3z = 4 4x + 6y z = 2 x + 4y 6z = 0 x + y + z = 10 a) No tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. b) x = 29, y = 19, z = 0 b) No tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. 3. Interpretación gráfica 29. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: a) x + y = 2 b) x + y = 4 2x + y = 6 x y = 2 a) x = 4, y = 2 Y P(4, 2) X x = 1 l y = Discute el siguiente sistema y clasifícalo para los valores: a) l = 1 b) l = 2 x y + lz = 2 lx + ly z = 5 (l + 1)x + ly a) No tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. b) x = 3, y = 9, z = 7 Son dos rectas secantes. b) No tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. Y X 28. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para los valores: a) a = 1 b) a = 2 x + z = 1 y + (a 1)z = 0 x + (a 1)y + az = a a) x = 1 z, y = 0 Son rectas paralelas. 30. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: a) 2x + y = 3 b) 3x y = 1 8x + 4y = 12 x y = 3 a) 2x + y = 3 80 SOLUCIONARIO

14 3 l x = 2 y = l Y X 32. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: 2x + 3y z = 3 x + y z = 2 x 2z = 3 x = 3 + 2z, y = 1 z x = 3 + 2l y = 1 l Son dos rectas coincidentes. b) x = 2, y = 5 Y P(2, 5) recta X Los planos se cortan en una recta. Son dos rectas secantes. 31. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: x + y + z = 3 2x y + z = 2 x y + z = 1 x = 1, y = 1, z = Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: 2x y + 3z = 1 x + 2y z = 3 x + 7y 6z = 10 x = 1/5 z, y = 7/5 + z x = 1/5 l y = 7/5 + l Los tres planos se cortan en el punto que es la solución del sistema. P recta Los planos se cortan en una recta. TEMA 1. SISTEMAS LINEALES 81

15 Ejercicios y problemas 34. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: x + y + z = 3 x + y z = 3 2x + 2y = 5 No tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. Los planos no tienen ningún punto en común. Se cortan dos a dos. 35. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: 3x + y = 0 4y + z = 0 3x + 2y + z = 1 x = 1/9, y = 1/3 y z = 4/3 P Nº de bolígrafos: x Nº de cuadernos: y Nº de cajas: z 2x + y + 3z = 22 x + y = 3z x + y + z = 12 Se ha comprado: Nº de bolígrafos: 4 Nº de cuadernos: 5 Nº de cajas: 3 x = 4, y = 5, z = Calcula las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento; que dentro de 10 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento; y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años. Actualmente Madre x Hijo 1 y Hijo 2 z Hace 14 años x 14 y 14 z 14 Dentro de 10 años x + 10 y + 10 z + 10 Dentro de x y años 2x y x z + x y x 14 = 5(y 14 + z 14) x + 10 = y z + 10 z + x y = 42 Los planos se cortan en un punto que es la solución del sistema. x 5y 5z = 126 x y z = 10 x y + z = 42 x = 44, y = 18, z = Resolución de problemas 36. Sonia ha comprado unos bolígrafos de 2, unos cuadernos de 1 y unas cajas de 3. Entre bolígrafos y cuadernos hay el triple que cajas. Considerando que ha comprado 12 objetos y ha pagado 22, calcula el número de bolígrafos, cuadernos y cajas que ha comprado. Las edades son: Madre: 44 años. Hijo 1: 18 años. Hijo 2: 16 años. 82 SOLUCIONARIO

16 38. Un bodeguero compra vinos de dos regiones diferentes A y B. Si se mezclan dos partes del vino de la región A con tres partes de la región B, cada litro cuesta 3,3.Si se mezclan tres partes del vino de la región A con dos partes de la región B, cada litro de esta mezcla cuesta 3,2. Halla cuánto le ha costado al bodeguero el litro de cada vino adquirido. Precio del vino de tipo A: x Precio del vino de tipo B: y Precio del vino de tipo A: 3 Precio del vino de tipo B: 3,5 2x + 3y = 3,3 5 3x + 2y = 3,2 5 2x + 3y = 16,5 x = 3, y = 3,5 3x + 2y = Un tren transporta 470 viajeros, y la recaudación del importe de sus billetes asciende a Calcula cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que asciende a 10, cuántos han pagado el 80% del billete y cuántos han pagado el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 50% es la mitad del número de viajeros que pagaron el 80% Viajeros que pagan el 100%: x Viajeros que pagan el 80%: y Viajeros que pagan el 50%: z x + y + z = x + 8y + 5z = z = y/2 x = 320, y = 100, z = viajeros pagan el 100% del billete. 100 viajeros pagan el 80% del billete. 50 viajeros pagan el 50% del billete. Para ampliar 40. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas: a) 2x + y z = 1 b) 2x y = 4 x 2y + 2z = 2 2x + y = 4 3x y + 2z = 4 x + 2y = 2 a) x = 0, y = 2 y z = 3 b) x = 2; y = 0 El sistema es heterogéneo compatible. 41. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas: a) 2x + y + z = 6 b) x y + z = 3 x + y + 2z = 4 2x + y 3z = 1 x + y + z = 1 8x 5y + 3z = 19 a) x = 5, y = 7, z = 3 2z + 4 5z 5 b) x =, y = 3 3 2(l + 2) x = 3 5(l 1) y = Resuelve y clasifica el siguiente sistema para el valor de m = 3: 2x + y z = 2 x + y + 2z = 5 x + (m + 2)z = 3 x = 3, y = 8, z = Resuelve y clasifica el sistema para los siguientes valores de a: a) a = 1 b) a = 2 x y = 2 ax + y + 2z = 0 x y +az = 1 TEMA 1. SISTEMAS LINEALES 83

17 Ejercicios y problemas a) x = 2 + y, z = 1 x = 2 + l y = l z = 1 b) x = 1, y = 1, z = 1/2 44. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) 3x + y + 4z = 1 b) x + y + 5z = 0 x 3y 2z = 1 2x 3y = 0 y + z = 3 x y + z = 0 a) x = 5/2, y = 1/2, z = 1/2 b) No tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. 47. Resuelve por Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: a) x + 2y z = 1 b) x y + z = 6 y + z = 0 x + y = 7 x + z = 1 x + y + 2z = 11 a) x = 1 z, y = z a) No tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. b) x = 3z, y = 2z x = 3l y = 2l El sistema es homogéneo compatible indeterminado. 45. Discute el sistema y clasifícalo para los siguiente valores de l: a) l = 2 b) l = 1 x +ly + 2 2x + ly z = 2 lx y + 2 a) x = 2/3, y = 2/3, z = 2/3 b) x = 1 + z, y = z x = 1 + l y = l 46. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) x y = 3 b) 2x + y z = 1 x + 9z = 7 x 2y + 2z = 1 x y + 6z = 6 3x y + z = 4 x = 1 l y = l b) x = 5, y = 2, z = Discute el siguiente sistema y clasifícalo para los valores de l: a) l = 0 b) l = 3 y + z = 1 (l 1)x + y + x + (l 1)y z = 0 a) x = 1, y = 1 z x = 1 y = 1 l b) x = 1, y = 0, z = Discute el siguiente sistema y clasifícalo para a = 2: ax + 2y + 6z = 0 2x + ay + 4z = 2 2x + ay + 6z = a 2 x = 3 y, z = 1 84 SOLUCIONARIO

18 x = 3 l y = l z = Discute el siguiente sistema y clasifícalo para los valores de a: a) a = 1 b) a = 1 (a + 1)x + 2y + z = a + 3 ax + y = a ax + 3y + z = a Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) x y = 0 b) 3x y = 0 3x + 2y = 0 3x + 4y = 0 y + z = 0 y + 4z = 0 a) x = 0, y = 0 y z = 0 El sistema es homogéneo compatible determinado. b) x = 0, y = 0, z = 0 El sistema es homogéneo compatible determinado. 4 z 2 z a) x =, y = l x = 2 2 l y = 2 b) x = 1, y = 0, z = 2 Problemas 52. Juan compró 4 entradas de adulto y 6 de niño por 56, y Sara abonó 48 por 5 entradas de adulto y 2 de niño. Cuánto valen las entradas de adulto y de niño? de 29 ; y si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar 135. Calcula el precio de cada producto antes de las ofertas. Precio entrada adulto: x Precio entrada niño: y 4x + 6y = 56 5x + 2y = 48 x = 8, y = 4 El precio de la entrada de adulto es 8 El precio de la entrada de niño es Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5% en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta, descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6% sobre el precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra 16 respecto del precio inicial; si compra en la segunda oferta tres productos A, uno B y cinco C, el ahorro es Precio del producto A: x Precio del producto B: y Precio del producto C: z 0,04x + 0,12y + 0,15z = 16 0,24x + 0,1y + 0,3z = 29 x + y + z = 135 x = 25, y = 50, z = 60 Precio del producto A es 25 Precio del producto B es 50 Precio del producto C es Un cliente ha gastado 90 en la compra de 12 artículos entre discos, libros y carpetas en una tienda. Cada disco le ha costado 12 ; cada libro, 9 ; y cada carpeta, 3. Se sabe que entre discos y carpetas hay el triple que de libros. Calcula cuántos artículos ha comprado de cada tipo. TEMA 1. SISTEMAS LINEALES 85

19 Ejercicios y problemas Nº de discos: x Nº de libros: y Nº de carpetas: z Cantidad de dinero en euros: x Cantidad de dinero en libras: y Cantidad de dinero en dólares: z x + y + z = 12 12x + 9y + 3z = 90 x + z = 3y x = 4, y = 3, z = 5 x + 1,5y + 1,1z = x = 2,2z 1,5y = x/10 Nº de discos: 4 Nº de libros: 3 Nº de carpetas: 5 x + 1,5y + 1,1z = x 2,2z = 0 x 15y = 0 x = , y = , z = En una competición deportiva celebrada en un centro escolar participaron 50 atletas distribuidos, según la edad, en tres categorías: infantiles, cadetes y juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte, excede en una unidad al número de atletas cadetes y, por otra parte, coincide con el quíntuplo del número de atletas juveniles. Determina el número de atletas que hubo en cada categoría. Nº de atletas infantiles: x Nº de atletas cadetes: y Nº de atletas juveniles: z x + y + z = 50 2x = y + 1 2x = 5z Nº de atletas infantiles: 15 Nº de atletas cadetes: 29 Nº de atletas juveniles: 6 x = 15, y = 29, z = Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 y un dólar es igual a 1,1, cuál es la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible? Cantidad de dinero en euros: Cantidad de dinero en libras: Cantidad de dinero en dólares: Una tienda tiene tres tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las tres conservas es de 1. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, y abona 58. Otro compra 20 unidades de A, y 30 de C, y abona 51. Calcula el precio de cada unidad de A, ByC. Precio de la conserva A: x Precio de la conserva B: y Precio de la conserva C: z x + y + z = 3 30x + 20y + 10z = 58 20x + 30z = 51 Precio de la conserva A: 0,9 Precio de la conserva B: 1 Precio de la conserva C: 1,1 x = 0,9; y = 1; z = 1,1 58. Una heladería prepara helados de tres tamaños; 125 gramos, 250 gramos y 500 gramos cuyos precios son 1,2 y 3, respectivamente. Un cliente compra 10 helados, con un peso total de 2,5 kg, y paga por ellos 18 Halla el número de helados que ha comprado de cada tipo. 86 SOLUCIONARIO

20 Nº de helados de 125 gramos: x Nº de helados de 250 gramos: y Nº de helados de 500 gramos: z Nº de deportistas: x Nº de artistas: y Nº de enseñantes: z 125x + 250y + 500z = x + y + z = 10 x + 2y + 3z = 18 x = 4, y = 4, z = 2 x + y + z = 60 y + z = 2x x + 2y = 2z x = 20, y = 15, z = 25 Nº de helados de 125 gramos: 4 Nº de helados de 250 gramos: 4 Nº de helados de 500 gramos: 2 Nº de deportistas: 20 Nº de artistas: 15 Nº de enseñantes: Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bolsillo, L1, L2 y L3. El importe total de la edición es Los costes en euros, por unidad, son 5,3 y 4, respectivamente. Se sabe que el número de ejemplares de L3 es igual a los dos séptimos de los del tipo L2, y que si al triple del número de ejemplares de L1 se le suma el número de ejemplares de L3, se obtiene el doble de ejemplares de L2. Averigua cuántos libros se han editado de cada tipo. 61. El señor García deja a sus hijos herederos de todo su dinero, con las siguientes condiciones: al mayor le deja la media de la cantidad que les deja a los otros dos más ; al mediano, exactamente la media de la cantidad de los otros dos; y al pequeño, la media de la cantidad de los otros dos menos Conociendo estas condiciones solamente, pueden saber los hijos cuánto dinero ha heredado cada uno? Justifica la respuesta. Nº de libros L1: x Nº de libros L2: y Nº de libros L3: z 5x + 3y + 4z = z = 2y/7 3x + z = 2y x = 2 000, y = 3 500, z = Nº de libros L1: Nº de libros L2: Nº de libros L3: En una reunión hay 60 personas entre deportistas, artistas y enseñantes. Se sabe que los enseñantes y los artistas duplican el número de deportistas. También se sabe que los deportistas y el doble de los artistas son el doble de los enseñantes. Cuál es el número de personas deportistas, artistas y enseñantes? Cantidad del hijo mayor: x Cantidad del hijo mediano: y Cantidad del hijo pequeño: z y + z x = x + z y = 2 x + y z = x y z = x + 2y z = 0 x y + 2z = x z = y z = El sistema es compatible indeterminado. No se puede saber la cantidad que le corresponde a cada hijo. TEMA 1. SISTEMAS LINEALES 87

21 Ejercicios y problemas Para profundizar 62. Resuelve y clasifica el siguiente sistema: x + z = 11 x + y = 3 y + z = 13 x + y + z = 13 No tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible. 63. Discute el siguiente sistema y clasifícalo: x 2y 2z + t = 4 x + y + z t = 5 x y z + t = 6 6x 3y 3z + 2t = 32 x = 11/2, y = 2 z, t = 5/2 x = 11/2 y = 2 l t = 5/2 65. Un comerciante ha vendido 600 camisetas por un total de El precio original era de 10 por camiseta, pero ha vendido en las rebajas una parte de ellas con un descuento del 30% del precio original, y otra parte con un descuento del 40%. Sabiendo que el número total de camisetas rebajadas fue la mitad del número de las que vendió a 10, calcula cuántas camisetas se vendieron a cada precio. Nº de camisetas sin descuento: x Nº de camisetas con el 30%: y Nº de camisetas con el 40%: z x + y + z = x + 7y + 6z = y + z = x/2 x + y + z = x + 7y + 6z = x + 2y + 2z = 0 x = 400, y = 120, z = 80 Nº de camisetas vendidas sin descuento: 400 Nº de camisetas vendidas con el 30%: 120 Nº de camisetas vendidas con el 40%: Resuelve y clasifica el sistema para los siguiente valores de m: a) m = 3 b) m = 1 x + y + z = m x + y + mz = 1 x + my + z = 1 mx + y + z = Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de estos tipos, se necesitó la utilización de unidades de madera, plástico y aluminio, tal y como se indica en la siguiente tabla: Silla Mecedora Madera Plástico Aluminio 1 unidad 1 unidad 1 unidad 1 unidad 2 unidades 3 unidades a) x = 1, y = 1, z = 1 El sistema es heterogéneo compatible determinado b) Solución x + y + z = 1 x = 1 l µ y = l z = µ l, µé Sofá 1 unidad 2 unidades La compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias, cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó? Nº de sillas: x Nº de mecedoras: y Nº de sofás: z 5 unidades 88 SOLUCIONARIO

22 x + y + z = 400 x + y + 2z = 600 2x + 3y + 5z = x = 100, y = 100, z = 200 Nº de sillas: 100 Nº de mecedoras: 100 Nº de sofás: Un banco invirtió 2 millones de euros en tres empresas diferentes, A, B y C. Lo que invirtió en A era el doble de lo que invirtió en B. Al cabo de un año, la rentabilidad de la operación ha sido del 10%. Las acciones de la empresa A han aumentado su valor un 10%, y las de B, en un 30%. Si las acciones de la empresa C han perdido un 10% de su valor, qué cantidad se invirtió en cada empresa? Cantidad invertida en A: x Cantidad invertida en B: y Cantidad invertida en C: z 68. En una librería hubo la semana pasada una promoción de tres libros: una novela, un libro de poesía y un cuento. Se vendieron 200 ejemplares de la novela, 100 de poesía y 150 de cuentos. Sabiendo que la librería ingresó por dicha promoción 8 600, que el precio de un ejemplar de novela es el doble del precio de un cuento y que el triple de la diferencia entre el precio del ejemplar de poesía y del cuento es igual al precio de una novela, calcula el precio al que se vendió cada libro. Precio de libro de novela: x Precio del libro de poesía: y Precio del libro del cuento: z 200x + 100y + 150z = x = 2z 3(y z) = x x = 24, y = 20, z = 12 Precio de libro de novela: 24 Precio del libro de poesía: 20 Precio del libro del cuento: 12 x + y + z = x = 2y 0,1x + 0,3y 0,1z = x = , y = , z = Cantidad invertida en A: Cantidad invertida en B: Cantidad invertida en C: TEMA 1. SISTEMAS LINEALES 89

23 Linux/Windows Paso a paso 69. Resuelve el sistema siguiente. Clasifícalo e interprétalo gráficamente: x + 2y = 3 4x + y = 2 Resuelto en el libro del alumnado. 70. Resuelve el sistema siguiente. Clasifícalo e interprétalo gráficamente: x y + z = 2 x + y 3z = 4 3x y z = 3 Resuelto en el libro del alumnado. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Wiris o DERIVE: 71. Encuentra dos números cuya suma sea 35 y sean proporcionales a 2 y 3 Resuelto en el libro del alumnado. 72. Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas y, a la vista del resultado, clasifícalos: 73. 2x y = 3 4x + y = x + y z = 8 x + 2y + z = 9 2x y + 3z = x + y = 4 3x + y = x + y z = 0 4x + 2y 3z = 0 3x + 5y 4z = x y = 3 6x + 3y = x + y + z = 1 3x + 5y z = 8 x + 2y z = 2 90 SOLUCIONARIO

24 Windows Derive Resuelve los sistemas siguientes. Clasifícalos e interprétalos gráficamente: 79. x y = 4 2x + y = x + 2y = 2 2x + 4y = x 2y = 2 x 2y = 2 TEMA 1. SISTEMAS LINEALES 91

25 Linux/Windows 82. x + y + z = 3 2x y + z = 2 x y + z = x + 2y 2z = 7 x + 2y + z = 3 5x 2y + 2z = x y + z = 3 8x 4y + 4z = 12 6x + 3y 3z = 9 92 SOLUCIONARIO

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