Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download ""

Transcripción

1 REVITA PROYECCIONE N2 13: Julio IN REDUCCION DE UNA INGULARIDAD A UNA INGULARIDAD CON 1-JET NO NULO POR BLOWING-UP DIRECCIONALE UCE IVO RIGOBERTO BElTRAN B.* l. REUMEN. E este trabajo, se preseta las ocioes de Blowig-ups direc cioales sucesivos y de sucesió axial de Blowig-ups de u capo de vectores X, e ua direcció D, itroducidas e [Bol. E prier lugar, se uestra que si la sucesió de Blowig-ups es fiita etoces existe coo K, de cotacto fiito, e toro deladirec ció D, tal que las Órbitas etra e K y abadoa K después de u tiepo fiito; y si esta sucesió de Blowig-ups es ifiita, etoces D es foralete ivariate bajo X. Fialete, se uestra que si X tiee grado de degeeració fiito y que si D es foralete ivariate después de u úero fiito de Blowig-ups e la direcció D, se obtiee u capo de vectores co 1-jet * Acadéico Departaeto de Mateáticas, Facultad de Ciecias. Uiversidad de Tarapacá, Arica - Chile.

2 48 o ulo. 2. DEFINI CIONE. E este capítulo se itroduce el vocabulario usual ecesario p~ ra el objeto pr1cipal de este t rabajo. e preseta el espacio de las si gularidades y las defiicioes de los coceptos básicos. :x.k Deotareos por A (IR ) 1 < k < oo al cojuto de los Capos k de Vectores e IR, de clase C. ( 2.1) Defiició: k ea Xe: ~ (IR ) X t i ee ua INGULARIDAD e pe:ir si X(p ) = O. Coo solaete estareos iteresados e propiedades locales de ua sigularidad e u put o pe:ir, etoces podeos supoer, si ayor restricc ió que p = O. ( 2. 2 ) Defiició: ea X, Y e: ~k(ir) Di reos que X e Y so GERMEN-EQUIVALENTE e O s i existe vecidad u de O Explícitaete, los capos X e Y s o gere-equivaletes e O cuado existe vecidad U de O tal que X(p) = Y(p) V p e: U. La relació gere-equivaletes es ua relació de equivalecia. ~k ) ; d e el cojuto ~ (IR. As1, para u capo ado, podeos forar la clase de equivalecia de este capo. la cual queda costituida por todos los ca pos de clase ck, de IR, que so gere-equivaletes co él. (2.3) Defiició : k ea X ' ~ (IR ). El GERMEN de X e O es el cojuto de los capos de vectores de c lase Ck, de IR, que so gere-equiva-

3 49 letes co X e O. Coo es fácil apreciar, el gere de X e O o es otra cosa que la clase de equivalecia de X por la relació gere-equivaletese o. fisos, Aálogaete, se defie el gere e O e fucioes, difeoor El gere e O de u cojuto A e IR es el gere e O de su f ució característica xa. Por siplicidad, usareos la isa otació tato para elgere de ua aplicació (o de u cojuto) coo para su represetate. Deotareos por G al cojuto de los gérees e O, de los oo capos de vectores de clase C e IR. (2.4) Defiició: ea X, Y s G y k s IN. Direos que X e Y so k-jet-equivalente si sus de rivadas e O, icluidas hasta las de orde k, so iguales. Explícitaete, escogido u sistea de coordeadas x = (x 1,x 2,...,x) e toro de O, etoces si X e Y so k-jet-equivaletes e O, se tiee que, Drx(O) = DrY(O) o < r < k dode D 0 X(O) = X(O) D 0 Y(0) = Y(O) y ór k Dr = co r. = r r r r ~ axll ax22 ax k i=l

4 50 o sea, para que dos capos X e Y sea k-jet-equivaletes, exigios la coicidecia de los capos y de las derivadas parciales hasta las de orde k, e e l puto O. Así, el desarrollo e erie de Taylor e toro del puto X e Y, icluyedo los térios de grado~ k so idéticos. O, de e e 1 La relació k-jet-equivaletes es ua relació de. cojuto G equivalecia (2.5) Defiició: ea X E G y k E IN. El k-jet de X es el cojuto de todos los que so k-jet-equivaletes co X e O. y E G Coo es fácil apreciar, el k-jet de X es la clase de equivaleci a de X por la relació k-jet-equivalete. Deotareos por jkx(o) al k-jet del gere del capo X e Q Toado los valores de las derivadas de X e O coo las coor deadas del k-jet jkx(o), t eeos que jkx(o) es u espacio euclidiao. Así u k-jet puede ser visto coo u cojuto de polioios de grado < k o por ua -tupla, a = (a 1, a 2,.., an) dode los oios de grado ~ k para algú N, fució de y k. a. so polil. Esto deuestra que exist e ua correspodecia biuívoca etre k-jets y capos vectores X de IR co X(O) = O, cuyas copoetes so polioios de grado < k. de de Esta correspodecia iduce e el cojuto de los k-jet X E G ua estructura atural de espacio vectorial real. U sistea de coordeadas de J~ es costituido por los valores de l as derivadas parciales, hasta de orde k, calculadas e el pu~ to O.

5 51 ua esta aera, teeos para cada k, ua proyecció caóica, X la cual asocia a cada gere de u capo su k-jet e el orige. gú X E G. Es claro que todo ot: Jk es de la fora para al- Estos espacios "k-jet" J~ perite poer ua topología e G; la topología eos fia que tora las proyeccioes jk cotiuas. Ahora, oteos que si k ~ r etoces, es claro que dos gérees que tega el iso r-jet e O, tedrá el iso k-jet e O. Así existe ua proyecció atural, j X(O) ~ r Esto es, rk queda defiido por el "trucaieto" de los térri os de ayor orde. Estas fucioes rk so evideteete sobreyector as pero rk o es iyectora excepto cuado r = k. Adeás, coo Trrk o Tir = rrk para 2: r 2!: k y V r, etoces poderos defiir el líite iverso de los cojutos por las fucioes rk 11 = id rr J r Etoces, J es el líite iverso (Proyectivo), =

6 52 Tabié la fució, X ~ j X(O) es el líite iverso, = li +-- Estos eleetos j X(O) de J so llaados oo-jet. E coordeadas locales, O. Así los eleetos de de Potecias e j X(O) represeta la erie de Taylor de X e J puede ser vistos coo -tuplas de eries -variables. El Teorea de Borel: tal que garatiza que j es sobreyectora, lo cual establece que todo eleeto de J puede ser obteido coo oo-jet del gere de algú capo de vectores. Las fucioes, iduce e J: la topología eos fia que tora cotiuas las proyecci~ es Esta elecció iplica que J es cotiua. difeoorfisos,... De aera aáloga, se defie jets de fucioes, ( 2. 5) Defiició: ea X e: G y k e: IN. Direos que X t i ee GRADO DE DEGENERACION k, si jkx(o) = o y jk+l X (O) -F o y tiee GRADO DE DEGENE RACION CERO si j 1 X(O) -F o.

7 53 (2.6) Defiició: Ua DIREeeiON e O, es la iage por u difeoorfis- o de clase e del gere e O de ua sei-rectaco extreo e O. El difeoorfiso es supuesto preserva el O. Es fácil probar que si D es ua direcció e IR, etoces oo existe gere de la aplicació y: ( [O,oo),O) (IR,0) de clase e co y' (O) t O tal que la iage de y es D. Recíprocaete, si y: ([O, oo),o) (IR,O) es de clase e y si y' (O) t O, etoces la iage de y es ua direcció. (2.7) Defiició: ea X E G y D ua direcció. Direos que X es NO-DEGENERADO e la direcció D si para algú gere de clase e, y : ((O,oo),0) (IR,O) co y' (O) toe iáge D, teeos que j (Xoy) (O) f= O. De otra fora, direos que X es DEGENERADO e la direc ció D. (2.8) Defiició: ea X E G. Direos que X satisface la DEIGUALDAD DE LOJAIE- + WieZ, si existe k E IN y e, e E IR tal que, Y X E IR co 11 X 11.::; O 11 X (X) 11 ~ e 11 X 11 k Ua propiedad iportate es que si X <!: G satisface la desigualdad de Lojasiewicz, etoces direcció. X es o-degeerado a lo largo de toda Deoteos por u capo de vectores X (x, z) u eleeto de e IR x IR. y por (X, X ) a X Z (2.9) Defiició: ea

8 54 Direos que X deja el eje-z, {O} x IR FORMALMENTE INVARIANTE si para todo k IN, lx (O) X o o cotiee puros térios e z. Esto es lo iso que decir que j X (0) oo X (2.10) Defiició: ea K C IR+l. U gere de K es u CONO DE CONTACTO k, k IN, k > 1, de clase c 1 si existe gere de ua fució h ([O,oo),O) (IR,O) de clase c 1 co jkh(o) = O jk+lh(o) F O y gere de u difeoorfiso, <{J: (IR+l, O) (IR+l, O) tal que, K = ~({ {x,z) IRx [O,oo) 1 ilxll < h(z) }) K es llaado u Coo de Cotacto k, e la direcció D f( {O} x [O, oo)). Mayores detalles y propiedades de los eleetos defiidos sepu~ de ecotrar e la Bibliografía. Coo se dice al pricipio, este capítulo solaete está destia do a etregar el leguaje básico a usar. 3. BLOWING-UP DE CAMPO DE VEX;TORE. El Método de Blowig-up para Capos de vectores es ua coocida técica que perite descopoer ua sigularidad e otras ás siples. Este Método fue itroducido por GOMORY e 1955 y por NEMYTKII y TEPANOV e 1960 y ha sido usado, etre otros por TAKEN [Ta] y DUMORTIER [Du].

9 E este capítulo se preseta ua descripció del Método y e pa_e. ticular, para Blowig-up e ua direcció, se da alguos cálculos especi ficos e fora detallada UN BLOWING-UP EFERICO. Para EIN, escribireos, r+1 r+l = { (x 1,x 2,..,xr+ 1 ) E IR 1 E i=1 2 X. l. = 1} y x IR--..;. (x,r) ;. rx Observeos que: l. ~ ~ + xir es u difeoorfiso de clase e sobre IR+ 1 -{0 } (3.1) Proposició (Ta] ea X E Ak(IRr+ 1 ) co X(O) =O. K-1 Etoces existe capo de vectores X, de clase e defiido sobre x IR tal que para todo q E rx IR, dfl) (X ( q) ) = X ( 6 ( q) ) (o Del desarrollo e erie de Tay1or de X e O, se observa que si X tiee su 1-jet ulo, etoces X es idéticaete ulo e x{o}. Ahora, si X tiee grado de degeeració s, etoces, por costrucció, XI = O, luego tiee setido defiir el capo de vec 1 - x{ O},., tares X = - X y torar el l1.1.te cuado r ~ O obteiedo as1. rs k-s-1 u capo de vectores de clase e e x IR.

10 56 (3. 2) Defiició: X es llaado el Capo de Vectores obte~do por u BLOW ING-UP y dividido por r. gete a x{o}. El estudio de este capo, a veces os da iforació del corpoe tarieto asitótico de las Órbitas cuado ellas tiede a O UN BLOWING-UP DIRECCIONAL. E diesioes superiores, el cálculo específico para u Blowig-up esférico es coplicado. Noteos que X restricto a rx{o} es el capo ve<;:torial t a Restrijaos uestra ateció a la sei-esfera de y supogaos que tiee el puto (0,0,.. 0,1) coro "polo orte". U Blowig-up direccioal o es ada ás que escoger ua carta de usado proyec ~ ió cetral, co cetro e O, e el hiperplao tagete por (0,0,...,0,1) a. Deoteos por (x,z) a u puto de IR x IR. Etedereos por eje-z al cojuto {O} x IR. Para E IN, sea la aplicació, \j! (x, z) (xz, z) Aálogaete a la Proposició (3.1), teeros, k (3. 3) Proposició: ea X E :{.~ (IR x IR) co X(O) =O. - 1 k-1 Etoces existe capo de vectores X de clase e e IR x IR tal que para todo q E IR x IR, (o

11 57 capo de vectores, Nuevaete, si X tiee grado de degeeració s, defiios el -1 1 ~1 X =-X z y toado el líite cuado z O, obteeos u capos de vectoresde k-s-1 clase e e IR x IR. (3.4) Defiició: -1 X es llaado e l capo de vectores obteido por u BLOWING- UP EN LA DIRECCION z y dividido por z. Deotado por es fácil ver que, X = (X,X ) X Z al capo de vectores X e IR xir, 1~1... ljl*x = X ~ y solaete si, ~1 (.!. (X oljl 1 ) X 1 X = - -(X oljl ), X oljl 1 ) z X z z z y así, X = (-(-(X oljl ) ~(X oljl 1 )) l(x oljl1)) ( ll) Z X z z, Z z z 3.3. RELACION ENTRE BLOWING-UP DIRECCIONALE Y EFERICO. Deoteos por la "sei-esfera superior", esto es, Cosidereos la biyecció, f s: X IR +1 IR x1 x (-,,-, zr) z z

12 58 Etoces el siguiete diagraa couta, s: x IR \ ;~1 IR+l f IR+l -1 Luego, x y X ls X IR + so difeoorfos y f*x -1 = X i deotaos, etoces, usado el hecho que, 2 2 L: x + z 1 i=l = 1 1 teeos que z = -~=======:::; \ / 1+x x 1 y z r = z z z - 1 s-1 Etoces, f*x = f (J:.. x> = f*x X z X -s -s r z z de dode, f*x = 1-1 X -2-2 s/2 (1+x +.. +x) 1 Coo 2 2 -s/2 ( l+xl x) es siepre positivo, y f*x so las isas y co la isa orietació. las órbitas de -1 X

13 59 Así, el Blowig-up direccioal es el iso Blowig-up esférico, pero restrigido a u pequeño doiio y trasforado por u cabio local de coordeadas. 3 4 EL -JET DE x 1 EN O r+l (Caso IR ) Para a = (al, a2,...,a) E INr, (xl,..,xr ) IR a X = E 1 deoteos X = escribaos a. rr X.l. l. i=l!al = I a. l. i=l si ala! al al tabié = y a! ax a a al xl... ax a TI (a.! ) l. i=l Etoces, poderos escribir el oo-jet de a -I a 1 a j w X(O) = I I ; a x z - + I i,a ax. i=l =s+l lai=o l. =s+l X e o coro ; a -1 al a ex z - '). az ia i=o si X tiee grado de degeeració s e O. -1 Para el oo-jet de X e o, escribiros, j x 1 <o>. - a -I a 1 ; ; ; a - a -I a 1 a a x z -- + ; ; ex z - i,a ax. a az i=l =O la i=o l. =O ia i=o Utilizado (6) y haciedo los cálculos se ecuetra que: l. - a. l., C'. a~+s+l-l a l_ l., a +s+l-l a l e (a,..., a. 1, a 1 -l, a.. 1,..., a. ) para 1 5. Ct. l. 1 1 u.l 2. - ai, (al,..., a. l,o, a. l,...,a) l.- l.+ +s+l-1 a 1 = a. l.,a para 1 ::; i.$ O 5. a ~

14 e (J +s-l a J e 1 a. para O ~!al E este caso, podeos ver que para cada E IN y para cada - a co ~ = ; e = O. Esto expresa el hecho que el hiperplao z = o a_1 a -1 es ivariate bajo X o, equivaleteete que la copoete de X az a ~o cotiee puros t~rios X E cuado so idefiidos. 1., 2., 3., podeos toar el i ebro derecho igual a cero 3.5. BLOWING -UP DIRECCIONALE UCEIVO. Aalizado ua sigularidad, puede ocurrir que después de u Blow ig-up se ecuetre u úero de sigularidades o suficiete siples a ser trat adas por los ~todos coocidos. E estas sigularidades podeo s aplicar de uevo u Blowig-up. -1 eu X obteido por u Blowig-up a X e la direcció-z y, iviaido por..,. ". -1 upogaos que X tiee de uevo ua sigularidad e, digaos -1-1 (a, 0 )!:.. IR X {O} y que j X (a,o) = o y j x (a,o)~ o. Etoces p -1 p+ 1 podeos calcular el Blowig-up a X e (a, O), e la direcció-z, de la siguiete aera atural: ea T (x,z) ~ (x-a,z) Coo T*x 1 tiee ua sigularidad co grado de degeeració p e O, etoces podeos cosiderar el capo de vectores T*x1 1 obteido de T*x 1 por blowig-up, e la direcció-z y dividido por zp.

15 61 (3.5) Defiició: --1 T x1 * es el capo de vectores obteido por DO BLOW- ING-UP EN LA DIRECCION-z, priero e (0,0) y segudo e (a,o) y dividido priero por z 5 y luego por zp. -1 de X. Deotareos a Evideteete, -2 por X depede de la elecció de la sigularidad - De este odo, podeos costruir sucesivaete X por Blowig- -X-1 ~X up sobre e algua sigularidad. Obviaete, depede de la elecció de las sigularidades e las cuales haceos el Blowig-up. (3. 6) Defiició: ea X E ~oo (IRxiR) co X (0) = O. Llaareos de BLOWING-UP DIRECCIONALE UCEIVO de X, - a ua sucesió de triples (X, (x,0), s ) N o~' N E IN tal que: 1. XO=x y (x 1 0) = (0,0) o 2. V, o < < N X tiee ua sigularidad co grado de degeeració s e (X,0) y x+ 1 es obteido por Blowig-up a X e (x,o) y dividí do por z. A cotiuació, se ecuetra alguas fórulas explícitas para Blowig-ups direccioales sucesivos e O. (3.7) Lea: ea x obteido por Blowig-ups direccioales sucesivos e O, de X. Etoces, 1 x s +s +.. +s z dode X V q E IR xir. tiee la propiedad

16 62 ete si, Coo e (6 ) teeos que para X = (X,X ) X Z si sola Así, - X 1 1 x s +s +. +s x z z z z o 1-1 z (--(X o~ ) - --(X o~ ), X ow ) Cabe hacer otar que o existe restricció, por cabios de coor deadas e, supoer que los Blowig-ups direccioales sucesivos so e la direcció del eje-z. uo a uo etre sucesioes di reccioales y (N-1)-jet de direccioes (icluido N = oo). e deduce de esto que existe correspodecia (3. 8) Defiició: Blowig-ups direccioales sucesivos de X dode V, o < < N, (x,o) = (o,o) será llaados UCEIONE DE - BLOWING-UP de X, e O, e la direcció -z. Deotareos ta 1 suces~o ' por (~ X, o, s ) o $ < N Ahora, si teeos ua sucesió de Blowig-ups de X, a lo largo del eje-z, es posible, después de u tiepo fiito, o teer ás sigularidades e (0,0). Esto podeos foralizarlo coo sigue : (3.9) Defiició: La sucesió (x, e o, a lo largo N = oo o Nt:IN y o, s ) de Blowig-ups de o:::; < N del eje-z es ua UCEION MAXIMAL --N-1 X (o) -F o. X, si ucesioes axiales de B1owig-ups de capo de vectores, siepre existe. (3. 10) Proposició: - ea N E: IN, (X, O, s ) ucesió axia l o :;: < N de Blowig-ups de X. Etoces existe coo K, de co

17 63 tacto N-2, e toro al eje-z tal que todas las órbitas e el iterior de K, etra e K y deja K después de u tiepo fiito. Deostració: Coo xn- 1 (0) ~O, podeos costruir ua vecidad e fora de cilidro, de O IR x[o,ro), de la fora, C = {(x,z) E IRxiR 1 ll xl l : R, Z E (0, 6 ) } tal que todas las órbitas de --N-1 X e el iterior de e, tra e e y deja e después de u tiepo fiito. e- Etoces, lj;n-l(c) = { (zn-lx,z) 1 jj x jj ~ R, z E [ O, o) } = { (x',z) 1 l lx' ll N-1 < z R,Z E: [O, o ) } ea K el gere e O de lj;n-l(c). Luego el resultado es iediato. Cosidereos ahora sucesioes ifiitas de Blowig-ups. Cabe idicar que esto establece que la sucesió axial de Bl ow ig-ups de u capo x, a lo largo del eje-z, es ifiita. (3.11) Proposició: - ea (X,O,s ) sucesió axial de Blowigo:s<N ups de X, a lo largo del eje-z. Etoces N = oo si, y splaete si, el eje-z es for alete ivariate bajo X. Deostració: i) ~ ea a s- Ial a j oo X (0) = E a. X Z 1,a ax. i=l =s +1 la i=o 1 o +

18 64 + a s-ial a c. X Z l.,a az =s +1 o lal=o x (o) ] ::::.E.E - a s-ial a. X Z + J..,a ax. i =1 =s +1 lal=o l. a + -s l.,a =s +1 C. X Z a s-i al a az Debeos probar que ai,o == O V ~ s +1 o e i e: {1,..., } Co la fórula 2. (sec.3.4) e ecuetra que V > +1 e - o 1--s -1 i ~ {1,..., }, a. o a. y por iducció sobre, usado la is l.,o l.,o a fórula teeos que V e: IN, --s -.. -s - a. o -1 == l.,o a. l.,o upogaos por cotradicció, que. = 0. Etoces, l.,o 1--s -1 a. o. : O, así s +1 < s-s -1 (recordar la elecció de s e la l.,o 1 - o 1 defiició 3. 6) o O < -s -s -2 ; adeás por iducció ecotraos, s -s -.. -s - a. o 1-1 i O J..,O coo siepre, coo debiera ser, o < s-s -. -s 1. o - Ciertaete, tarde o teprao O s-s s l para alg6 ~ o - Pero, x(o) ::::.E i=1 -o a. l.,o a ax. l. i= O, cotradiciedo e l hecho que ii) === Usado la isa otació, teeos que a. l., o 0, \1 > s +1 o e

19 65 i s { 1,...,}. La fórula 2. de la secc. 3. 4, da iediataete que, -o a. = 0 V s IN ~,o e i s {l,...,} - de dode, X (O) = O V. Luego, de i) y ii), se tiee el resultado. 4. REDUCCION A UNA INGULARIDAD CON 1-JET NO NULO. El propósito de esta secció es probar el siguiete TEOREMA: ea (x, O,s) 0 < < N sucesió axial de Blowig-ups de X e G+l a lo l rgo del eje-z {O}x(O,oo). i X es o dege~ rado a lo largo del eje-z etoces existe N s IN tal que xn+ tiee grado de degeeració cero V s IN. La deostració de este Teorea será cosecuecia de las proposicioes (4.1), (4.2), (4.3), (4.4), (4.5) y (4.6) que se verá a cotiuació. (4.1) Proposició: +1 ea X s G co grado de degeeració s. -1 i X tiee grado de degeeració. s+l, j 1 X(O) =. s+l a a Ca X az s+ lal=s+l etoces Deostració: Coo s+1 e a De la j X(O) =O, solaete teeos que ver O < 1 a 1 < s+l 1 ~ i ~. s+l a. ~,a fórula 3. secc. 3.4, teeos que para cada co - +s--1 s+l y co ial = -1, O = e = e a = e a y s Así, e = O para cada a co O a s s (V). a

20 66 De la parte l. de las fórulas de la secc. 3.4, teeos que para cada co 1 ~ < s+l co lo:i = Y 1 ~ 0:. l - O = a. l., a +s+l- = a. l, a +s+l- -e ( a1,.., a. 1, a. -1, a. 1,.., a ) s+l a. l.,a s+l - e (al,..,o:. l'o:.-l,o:. l,..,o:) 1-1 l.+ Pero por (V) aterior, estos e so cero. E cosecuecia, y 1.5 a.. l. s+l c. = O para cada o: co O ~!o: l ~ s+l l.,o: De la isa fora, usado 2. de la secc. 3.4 se obtiee que todos los coeficietes e bleete, e s+l co 1 o: 1 a se aula, excepto, pos! +l (4.2) Proposició: i X E G y si -1 X tiee grado de degeeració -2 s, etoces X tiee grado de degeeració ~ s. Deostració:. - 2 upogaos que J x (O) = o. s+ 1 Por la proposició (4.1) aterior, esto iplica que, J. x1 <o) = s+l lo:l=s+l -s+l 0: e x a 0: az -s+l Por uestro supuesto, uo de los e de cero. 0: debe ser diferete Esto es iposible por la observació e 3. secc riacia del hiperplao z = O) (Iva

21 67 (4. 3) Proposició: i X Gr+l tiee grado de degeeració s y js+lx 1 (0) =O, etoces x 1 tiee grado de degeer~ ció s+l. Deostració : -1 Deberos probar que j x ( O) -1 o. s+ 2 De la Proposició (4.1), y del hecho que eas que j s+ x 1 (O ) jaj=s +l s+1 a a e a X dz Coro X tiee grado de degeeració s+l ja! = s+1 y e F O. a s, existe Usado 3. de la secc. 3.4, se obs erva que, -s+2 s+2+s-s-1 s+l e e = e a a a Así, x 1 (o) Js+2 o:f o. (4. 4 ) Proposició: ea X Gr+l upogaos existe u etero ua sucesió i fiita (X, O,s) de IN ups de X e O, e l a direcció-z V I N, x tiee grado de degeeració cada paso dividios por z. teco >, 1 y Blowigtal que y e Deotado por i IR~ (O,,O,z) etoces j (j (xoi)) (0) = O. oo s-1

22 68 e.ostració: j s-1 x(o,.., O, z) es foralete deteriado por (axazm-i sl<o,.., o,z))o:sm :s s-1 0 II <M Usado las otacioes de 3.4, M-jsj (x1,..,x,z) = ax az a a a I I (a 1 -" a -"- + e -;-). =s+l ja j=o, a ox 1,aox a oz a! a- ( - 1 (a - ) X (- lai -M+ I)! Z a 1 )! -1 a 1-M+ 1 1 Así, amx B M- j j (O'.. 'O' z) = dx az st (- I 1 )! (-M)! z -M Los térios de j X (0) juega su papel e j (j por tato so, oo s-1 (Xoi)) (O) ' "' s-1 <:' ; '" N=s+l I I=o N (al, a ax N a a N a ) N-j s j, ax + C a; X Z IR +l y la fórula e Lea 3.7, etoces,

23 69-1 X = - s z i=l 1 x. a (-(X. olji) - -~(X oljp) )- ~ z z 3x. z ~ + d Teeos para la copoete dx. ~ 1 1 s z z N=s+1 s: 1 N ii N-I I 1 a. x z z IBI=o ~, s z x. ~ z N=s+l N=s+1 - N=s+l s- 1 N N-lsl-1-(k-IBI> CBX z lsl=o Y para la copoete d dz teeos N=s+l Mirado e esta Últia expresió. i esta costrucció es pos~ ble para cada s IN, etoces e:= O, V N~ s+1, O~ lsl ~ s-1. es ula. Así la seguda suatoria e la expresió para Por la isa razó recié ecioada, teeos la copoete que d ax. ~ ' N a. = > 1 ~ ~ 1 ~ ~ ~, o V N s+l o i o 1 1 s-1. Esto establece que j (j (Xoi)) (0) o oo s- (4.6) Proposició: ea +1 X s G 1, o degeerado a lo largo del eje-z. ea x obteido de X por blowig-ups sucesivos e O, e la direcció-z. - Ecetes X es o degeerado a lo largo del eje-z.

24 70 Deostració: ea,,, "' +l IR +l IR (x,..,x,z) La fució que deteria el blowig-up X - X - g X Etoces para algua fució - y Xolji = lji*ox de clase e teeos que Deotado por i [O,oo) +l IR z ----~ (O,..,O,z) y supoiedo que j (Xoi) (O) = O cosecuecia, j (X oljioi) (O) = O. etoces j (Xoi) (0) = O y e Pero,,,,.. '1' Ol = l. Esto iplicaría que j (Xoi) (O) o lo que cotradice uestra hipótesis. (4.7) Proposició: upogaos que del eje-z. +l X s G es o-degeerado a lo largo Etoces es iposible que exista ua sucesió ifiita (X, O,s ) IN de Blowig-up de X e O, e s la direcció- z co ~l ; s~l. Deostració : upogaos que existe tal sucesió. Etoces existe eteros s~ l y N~ l tal que V ~O, xn+ tiee grado de degeeració s. E cosecuecia, de la proposició (4.4) j (j (:xnoi) (0) =O, oo s-1 lo cual cotradice la Proposició (4.6). Esta Últia Proposició coplet a la Deostració del TEOREMA, euciado al coiezo de esta secció.

25 71. BIBLIOGRAFIA. [Bol BONCKAERT, Patrick: ooth Ivariat Curves of igularities of vec tor Fields o IR 3. Uiversiteit Atwerpe. Departeet Wiskude Iforatica - Wilrijk, [Du) DUMORTIER, Freddy igularities of Vector Fields. Moografías de Mateáticas. IMPA, RJ [Ta] TAKEN, Floris igularities of Vector Fields. Publ. Math. IHE 43 (1974).

Sitemap