23 de noviembre de 2017


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1 Representaciones de grupos finitos Cándido Martín González Universidad de Málaga 23 de noviembre de 2017

2 Teorema Sea G un grupo finito. El número de clases de isomorfía de representaciones irreducibles complejas coincide con el número de clases de conjugación de G Dem. KG = M n1 (C) M nq (C) y el número de representaciones irreducibles complejas es q. Z(KG) = C C (hay q-sumandos), por lo tanto dim(z(kg)) = q.

3 Veamos que hay tantas clases de conjugación como dim(z(kg)): Sea z Z(KG) y pongamos z = g G λ gg. Para todo h G se tiene z = hzh 1 = g λ g hgh 1 = g λ h 1 g hg = λ h 1 ghg. g por tanto λ g = λ h 1 gh para todo h. Todos los conjugados de g tienen el mismo escalar en la expresión z = g G λ gg.

4 Luego si denotamos por g la suma de todos los conjugados de g, tenemos un g por cada clase de conjugación. Además z = λ g g lo que quiere decir que el conjunto de los diferentes g es un sistema de generadores de Z(KG). Además son L.I. porque si λ g g = 0 como las clases de conjugación forman una partición del grupo, se tiene λ g = 0. Por tanto {g } es una base de Z(KG) y q = dim(z(kg)) = número de clases de conjugación de G.

5 Teoría de caracteres. Recordermos que la traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal. Si denotamos por tr la traza de una matriz, se trata de una aplicación lineal tr: M n (K) K dada por tr(a ij ) = i a ii. Esta aplicación lineal cumple que A, B M n (K), tr(ab) = tr(ba).

6 Por lo tanto si P es cualquier matriz inversible tr(pap 1 ) = tr(a) para toda A M n (K). Esta propiedad permite definir el concepto de traza de una aplicación lineal f : V V siendo V un e.v. de dim. finita. En efecto: fijemos una base B de V y definamos tr(f ) := tr(m B (f )) siendo M B (f ) la matriz de f relativa a la base B.

7 La definición no depende de la base elegida porque si B es otra base, existe una matriz inversible tal que M B (f ) = PM B (f )P 1 y entonces tr(m B (f )) = tr(m B (f )). Por lo tanto tenemos una aplicación lineal tr: End K (V ) K tal que f, g End K (V ), se cumple tr(fg) = tr(gf ).

8 Carácter de una representación Dada una representacion de grado finito ρ: G GL(V ) de un grupo G en el espacio V, definimos el carácter de ρ (denotado χ ρ ) como la aplicación χ ρ : G K tal que g G, se tiene χ ρ (g) := tr(ρ(g)).

9 Problema Calcular el carácter de la representación de 3 dada por d : 3 GL 2 (C) siendo ( ) ( ) 1 0 1/2 3/2 d(s) =, d(g) = /2 1/2

10 Tenemos d(g 2 ) = ( 1 2 ) , d(sg) = 2 ( d(sg 2 ) = ( ) ),

11 Por tanto el carácter χ d de la representación es: 1 g g 2 s sg sg 2 χ d

12 Problema Determinar la tabla de caracteres de 3. Aparte de la representación de grado dos, cuyo carácter hemos calculado en el problema anterior, teníamos dos representaciones irreducibles de grado uno no isomorfas 1: 3 C u : 3 C s 1 s 1 g 1 g 1

13 La table completa de caracteres de 3 es: 1 g g 2 s sg sg 2 χ χ u χ d

14 Observaciones A partir de aquí, el cuerpo base será C. 1 Para toda representación ρ: G GL(V ), χ ρ (1) = dim(v ). 2 Si dim(v ) = 1, se tiene χ ρ = ρ. 3 Si ρ 1 y ρ 2 son representaciones isomorfas de G, χ ρ1 = χ ρ2. Dem. La condición de isomorfía implica la existencia de un isomorfismo lineal f : V 1 V 2 tal que g G, ρ 2 (g)f = f ρ 1 (g).

15 Entonces ρ 2 (g) = f ρ 1 (g)f 1 luego χ ρ2 (g) = χ ρ1 (g) por tanto χ ρ1 = χ ρ2. 5 Si ρ: G GL(V ) es una representación compleja, g G se tienen χ ρ (g 1 ) = χ ρ (g). Dem. Como ρ(g) es diagonalizable su traza es la suma de sus autovalores. ρ(g) = p diag(λ 1,..., λ q )p 1 ρ(g 1 ) = p diag(λ 1 1,..., λ 1 q )p 1

16 Pero cada λ i es de norma unidad ρ(g) es de orden finito (todo endomorfismo de orden finito tiene autovalores que son raíces n-ésimas de la unidad). Así χ ρ (g) = i λ i = i λ 1 i = tr(ρ(g 1 )) = χ ρ (g 1 ).

17 Teorema Si A es un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo K algebraicamente cerrado y M es un A-módulo simple, entonces f End A (M) no nulo, existe λ K (= K \ {0}) tal que f = λ1 M. Dem. ker(f ) es una A-submódulo de M luego ker(f ) = 0 (no puede ser ker(f ) = M porque f 0). Análogamente Im(f ) = M. Luego f es un automorfismo.

18 Por lo tanto todo elemento no nulo del álgebra End A (M) es inversible lo que quiere decir que End A (M) es un álgebra de división (y de dimensión finita por serlo M). Como K es algebraicamente cerrado, End A (M) = K luego todo elemento es múltiplo escalar de la identidad.

19 Sean ρ 1 : G GL(V ) y ρ 2 : G GL(W ) dos representaciones de G. Suponemos que V y W son K-espacios vectoriales. Definamos por hom(v, W ) el K espacio de todas las aplicaciones lineales V W. Si V y W son finito-dimensionales hom(v, W ) cumple dim(hom(v, W )) = dim(v ) dim(w ). Denotemos por hom G (V, W ) el subespacio de hom(v, W ) de todas las f : V W tales que f (gv) = gf (v) para cada g G, v V.

20 Teorema (dimensional) Supongamos que ρ 1 : G GL(V ) y ρ 2 : G GL(W ) son irreps de G. 1 Si ρ 1 = ρ2 se tiene hom G (V, W ) = 0. 2 Sea K algebraicamente cerrado. Si ρ 1 = ρ2 se tiene dim(hom G (V, W )) = 1. Dem Sea f hom G (V, W ). V y W son G-módulos simples luego ker(f ) es 0 o V. Análogamente Im(f ) = 0 o W. Como las representaciones no son isomorfas, V no es isomorfo a W como G-módulo.

21 por tanto ker(f ) = V, Im(f ) = 0. En este caso hom G (V, W ) = 0. Supogamos ahora que ρ 1 = ρ2 y K algebraicamente cerrado. Existe un isomorfismo de G-módulos f : V W. Para cualquier otro g hom G (V, W ) se tiene f 1 g End G (V ) = K por tanto f 1 g = λ1 para algún λ K, luego g = λf y dim(hom G (V, W )) = 1.

22 Definición Sea ρ: G GL(V ) una representación en el K-espacio vectorial V. Sea V := hom K (V, K) el dual de V. Definimos la representación dual ρ : G GL(V ) mediante ρ (g)(f ) = f ρ(g 1 ) para cada g G, f : V K elemento de V. Problema: g G, χ ρ (g) = χ ρ (g).

23 Recordemos que si V y W son K-espacios vectoriales de dimensión finita, hay un isomorfismo θ : V W = hom(v, W ) tal que f w f ( )w siendo esta, la aplicación V W tal que v f (v)w: [f ( )w](v) = f (v)w para cada f V, w W, v V. Dem. Es fácil ver que θ es un monomorfismo y como ambos espacios tienen la misma dimensión, θ es un isomorfismo.

24 Proposición Si A M n (K), B M q (K) entonces tr(a B) = tr(a) tr(b). Dem. Si A = (a ij ) entonces a 11 B a 1n B tr(a B) = tr.. = a n1 B a nn B a 11 tr(b) + + a nn tr(b) = tr(a) tr(b)

25 Corolario Si ρ i : G GL(V i ) para i = 1, 2 son representaciones de G en los K-espacios V 1 y V 2, entonces χ ρ1 ρ 2 (g) = χ ρ1 (g)χ ρ2 (g) para cada g G. Dem. χ ρ1 ρ 2 (g) = tr(ρ 1 (g) ρ 2 (g)) = tr(ρ 1 (g)) tr(ρ 2 (g)) = χ ρ1 (g)χ ρ2 (g).

26 Si ρ 1 : G GL(V ) y ρ 2 : G GL(W ) son representaciones de G en los K-espacios V yw, podemos definir la representación ρ 1 ρ 2 : G GL(hom(V, W )) tal que (ρ 1 ρ 2 )(g): hom(v, W ) hom(v, W ) viene dada por T ρ 2 (g)t ρ 1 (g 1 )

27 El isomorfismo θ : V W hom(v, W ) descrito anteriormente, induce un isomorfismo de representaciones ρ 1 ρ 2 = ρ 1 ρ 2. Compruebe el lector que para cada g G se tienen cuadrados conmutativos V W θ (ρ 1 ρ 2)(g) V W hom(v, W ) hom(v, W ) (ρ 1 ρ 2 )(g) θ

28 Corolario χ ρ1 ρ 2 = χ ρ 1 ρ 2 En particular, para representaciones complejas, g G se tiene χ ρ1 ρ 2 (g) = χ ρ 1 (g)χ ρ2 (g) = χ ρ1 (g)χ ρ2 (g). Fórmula g G, χ ρ1 ρ 2 (g) = χ ρ1 (g)χ ρ2 (g).

29 Recordemos que si S es un subespacio de un K-espacio vectorial V, y fijamos una descomposición V = S S, una aplicación p : V V tal que p(x) = x para cada x S y p(s ) = 0 se llamará una proyección en S. En este caso si V es de dimensión finita, tr(p) = dim(s). Dem. En una base conveniente de V, la matriz de p es ( ) In 0, n = dim(s). 0 0

30 Lema Para que una aplicación f : V V sea una proyección en un subespacio S de V es suficiente que 1 f 2 = f, y 2 f (x) = x si y solo si x S. Dem. Si p es una proyección en S, el núcleo de p es S y su imagen S. Por lo tanto V = ker(p) Im(f ). Además como p(x) S se tiene p(p(x)) = x para todo x.

31 Recíprocamente, si se cumplen las dos condiciones, es fácil comprobar que ker(f ) Im(f ) = 0 (porque si z ker(f ) Im(f ) se tiene z = f (q) luego 0 = f (z) = f (f (q)) = f (q) = z). Además x V, x = f (x) + (x f (x)) y x f (x) ker(f ). Por tanto V = Im(f ) ker(f ). Además, si x S, tenemos x = f (x) Im(f ). Por otra parte si x Im(f ) tenemos x = f (y) luego f (x) = f (f (y)) = f (y) = x lo que implica x S. Concluimos que S = Im(f ). y f es una proyección en S.

32 Sea G un grupo finito, ρ 1 : G GL(V ) y ρ 2 : G GL(W ) representaciones complejas de G. Definamos F : hom(v, W ) hom(v, W ) por F (T ) = 1 G ρ 2 (g)t ρ 1 (g 1 ). g G Lema La imagen de F es hom G (V, W ). Objetivo: siendo S := F (T ), S hom G (V, W )?

33 Sea v V, h G: 1 G S(hv) = S(ρ 1 (h)(v)) = ρ 2 (g){t [ρ 1 (g 1 )(ρ 1 (h)(v))]} = g G 1 G ρ 2 (g){t [ρ 1 (g 1 h)(v))]} = g G 1 G ρ 2(h) ρ 2 (h 1 g){t [ρ 1 (g 1 h)(v))]} = g G

34 1 G ρ 2(h) ρ 2 (h 1 g){t [ρ 1 (g 1 h)(v))]} = g G ρ 2 (h) 1 G ρ 2 (k)t ρ 1 (k 1 )(v) = k G ρ 2 (h)(s(v)) = hs(v). Esto prueba que Im(F ) hom G (V, W ).

35 Veamos ahora hom G (V, W ) Im(F ). Sea T hom G (V, W ). Entonces g G se tiene ρ 2 (g)t = T ρ 1 (g) por tanto 1 G F (T ) = 1 G g G ρ 2 (g)t ρ 1 (g 1 ) = g G T ρ 1 (g)ρ 1 (g 1 ) = 1 G T = T, g G luego T Im(F ). Como corolario F 2 = F.

36 Como F 2 = F se tiene tr(f ) = dim(hom G (V, W )). Corolario Si las irreps ρ 1 : G GL(V ) y ρ 2 : G GL(W ) son isomorfas, entonces tr(f ) = 1, en caso contrario tr(f ) = 0. Véase el Teorema dimensional

37 Definición Si ρ 1 : G GL(V ) y ρ 2 : G GL(W ) son representaciones complejas de grado finito de un grupo finito G, definimos el producto escalar de sus caracteres: χ ρ1, χ ρ2 := 1 G χ ρ1 (g)χ ρ2 (g) g G

38 Esta aplicación es lineal en la variable de la izquierda y conjugado-lineal en la variable de la derecha: χ 1 + χ 2, χ 3 = χ 1, χ 3 + χ 2, χ 3, χ 1, χ 2 + χ 3 = χ 1, χ 2 + χ 1, χ 3, kχ 1, χ 2 = k χ 1, χ 2, χ 1, kχ 2 = k χ 1, χ 2, Para cualquier k C y caracteres χ i, i = 1,..., 4.

39 Además χ 1, χ 2 = χ 2, χ 1 y χ, χ, χ 0. χ( χ, χ = 0 si y solo si χ = 0).

40 Teorema Si ρ 1 : G GL(V ) y ρ 2 : G GL(W ) son irreps complejas del grupo finito G cuyos caracteres son respectivamente χ 1 y χ 2, entonces { 1 si ρ 1 = ρ2 χ 1, χ 2 = 0 si ρ 1 = ρ2

41 Recordemos que F : hom(v, W ) hom(v, W ) dada por F (T ) = 1 G ρ 2 (g)t ρ 1 (g 1 ). g G tiene tr(f ) = 1 si ρ 1 = ρ2 y tr(f ) = 0 en caso contrario (véase Corolario ). Además: (ρ 1 ρ 2 )(g)(t ) = ρ 2 (g)t ρ 1 (g 1 ) F = 1 G (ρ 1 ρ 2 )(g) g

42 tr(f ) = 1 G 1 G F = 1 G g (ρ 1 ρ 2 )(g) g tr(ρ 1 ρ 2 )(g)) = 1 G χ ρ1 ρ 2 (g)) = χ ρ1 (g)χ ρ2 (g) = χ ρ2, χ ρ1 = χ ρ1, χ ρ2. g Luego χ ρ1, χ ρ2 es nulo si ρ 1 = ρ2 y 1 si ρ 1 = ρ2. g

43 Teorema Sea G un grupo finito y ρ: G GL(V ) una representación compleja de grado finito. Descompongamos ρ como suma directa de irreps de G: ρ = n i ρ i i con n i Z \ {0} y cada ρ i es una irrep. (ρ i = ρj si i j). Sea τ : G GL(W ) una irrep. compleja cualquiera de G. Entonces χ ρ, χ τ = n i siendo ρ i = τ.

44 χ ρ, χ τ = i n i χ ρi, χ τ el único sumando no nulo es aquel en que τ = ρ i. Por tanto χ ρ, χ τ = n i donde τ = ρ i.

45 Teorema Sea G un grupo finito. Una representación compleja ρ: G GL(V ) de grado finito es irreducible si y solo si su carácter χ cumple χ, χ = 1. Ya hemos visto que si ρ es irreducible χ, χ = 1. Veamos el recíproco. Sabemos χ, χ = 1, descompongamos ρ como suma de irreps ρ = i n i ρ i con n i 0 (enteros) y las ρ i no isomorfas dos a dos.

46 Entonces χ = i n iχ i siendo χ i := χ ρi. 1 = χ, χ = i n i χ i, j n j χ j = i,j n i n j χ i, χ j = i Por lo tanto solo puede haber un n i y vale 1. Luego ρ es irreducible. n 2 i

47 Irreps de Z n Todas las irreps complejas de un grupo abeliano finito son de grado 1: sea ρ: G GL(V ) con dim(v ) finita y G abeliano finito. El conjunto {ρ(g)} g G GL(V ) es un conjunto de aplicaciones diagonalizables y que conmutan dos a dos. Es sabido que existe una base de V tal que todas las ρ(g) diagonalizan en dicha base. Si tomamos un elemento v de dicha base, el subespacio generado por v es por lo tanto ρ-invariante. Como ρ es irreducible, V es el subespacio generado por v luego dim(v ) = 1.

48 Por lo tanto todas las irreps complejas de Z n son de grado uno, es decir, homomorfismos de grupos Z n C. Sabemos que hay tantas irreps complejas como clases de conjugación del grupo. Como el grupo es abeliano, hay tantas clases de conjugación como elementos en el grupo. Por lo tanto, salvo isomorfismo, solo hay n irreps de Z n.

49 Vamos a calcularlas. Si ponemos Z n = π : π n = 1 todo homomorfismo ρ: Z n C queda determinado por ρ(π) que es una raíz n-ésima de la unidad. Escribiendo ω = exp( 2π n i) tenemos las representaciones ρ 0, ρ 1,..., ρ n 1 definidas por ρ k (π) = ω k. Como son todas distintas, son todas ellas no isomorfas.

50 Ejemplos Z 2 1 π ρ ρ Z 3 1 π π 2 ρ ρ 1 1 ω ω 2 ρ 2 1 ω 2 ω Z 4 1 π π 2 π 3 ρ ρ 1 1 i 1 i ρ ρ 3 1 i 1 i ω = exp 2πi/3

51 Teorema En un grupo abeliano finito G por cada irrep ρ de G tenemos un idempotente e ρ := 1 G ρ(g)g g G en el álgebra grupo CG. Si ρ y τ son irreps no isomorfas e ρ e τ = 0. Además e ρ = 1. ρ

52 1 G e ρ e τ = 1 χ G 2 ρ (g)χ τ (h)gh = g,h 1 χ G 2 ρ (g)χ τ (g 1 gh)gh = g,h 1 χ G 2 ρ (g)χ τ (g 1 )χ τ (gh)gh = g g,h χ ρ (g)χ τ (g 1 ) 1 G χ τ (gh)gh = h

53 1 G g χ ρ (g)χ τ (g 1 ) 1 G χ τ (gh)gh = χ ρ, χ τ e τ h luego e ρ e τ = χ ρ, χ τ e τ e 2 ρ = e ρ, e ρ e τ = 0, si ρ τ. Veamos que ρ e ρ = 1.

54 Para demostrar e ρ = 1 ρ tengamos que cuenta que las representaciones son ρ 0,..., ρ n 1 y que ρ k (π) = ω k. e ρk = 1 n 1 ρ k (π j )π j = 1 n 1 ω jk π j n n j=0 j=0 e ρ = 1 n 1 n 1 ω jk π j = 1 n 1 n 1 ( ω jk )π j = n n ρ k=0 j=0 j=0 k=0

55 Para j 0, e ρ = 1 n 1 n 1 ( ω jk )π j. n ρ n 1 k=0 Para j = 0, j=0 k=0 ω jk = 1 ωjn 1 ω j = 0 pues ω n = 1 n 1 ω jk = n k=0 e ρ = 1. ρ

56 Por lo tanto el álgebra grupo compleja de Z n se descompone como CZ n = ρ Ce ρ donce ρ varía en el conjunto de representaciones irreducibles (dos a dos no isomorfas) de Z n. Sabemos además que hay exactamente n de tales representaciones.

57 Ejemplos Z 2 1 π ρ ρ e ρ0 = 1 2 (1 + π), e ρ1 = 1 2 (1 π) donde e i := e ρi, i = 0, 1. CZ 2 = Ce 0 Ce 1

58 Siendo ω = exp 2πi/3, Z 3 1 π π 2 ρ ρ 1 1 ω ω 2 ρ 2 1 ω 2 ω e ρ0 = 1 3 (1 + π + π2 ) e ρ1 = 1 3 (1 + ωπ + ω2 π 2 ) e ρ2 = 1 3 (1 + ω2 π + ωπ 2 ) CZ 3 = Ce 0 Ce 1 Ce 2, e i := e ρi, i = 1, 2, 3.

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